GLIMT FRA INFORMASJONSTEKNOLOGIENS HISTORIE

HERMAN RUGE JERVELL

UNIVERSITETET I OSLO

OKTOBER 1990

I disse forelesninger om informasjonsteknologiens historie har jeg prøvd å bringe sammen temaer som

• muntlige og skriftlige kulturer
• trykkekunstens innvirkning på samfunnet
• utvikling av formelle beskrivelser i matematikk og logikk
• samfunnets bruk av formelle beskrivelser
• datamaskinenes historie

 Vi vil her ta for oss informasjon og informasjonsteknologi i vid forstand. Et problem da er at det kan bli for vidt. Informasjon blir et overordnet begrep for menneskehetens historie - i likhet med energi og ernæring. Dette gjør det vanskelig å skrive informasjonsteknologiens historie. Det er da heller ikke det vi har gjort. Vi har bare tatt for oss noen glimt fra historien.

1. DE TRE TEKNOLOGIER 

Ny teknologi gjør at vi får tilgang til verden på nye måter og kan dermed skape nye virkeligheter.

 La oss se nærmere på dette utsagnet. For det første høres utsagnet ganske rimelig ut. Men la oss gå litt dypere ned. Da må vi snakke om teknologi - verden - virkelighet.

Verden er det der ute som bare er, mens virkeligheten er det vi handler i. Verden består av atomer og molekyler, RNA og DNA og så videre. Noe av dette har vi forståelse av. Annet vil vi kanskje finne ut av etter hvert, eller kanskje aldri finne ut av. Virkeligheten er derimot knyttet til hver enkelts organisering av verden. Her inngår alle de tingene og personene som inngår i hver enkelts handlingsområde. Det er bare for noen få av oss - om noen i det hele tatt - at atomer og molekyler og de andre byggestenene inngår i vår virkelighet. Vår virkelighet er på en vesentlig måte avhengig av vår tilgang til verden og de handlinger vi kan utføre i den. Med ny teknologi får vi tilgang til verden på nye måter og kan dermed skape nye virkeligheter.

Med "ny teknologi" vil de fleste tenke på informasjonsteknologi eller - som det gjerne utlegges som - teknologien knyttet til datamaskiner. Dette er en unødig begrensning. I disse forelesningene vil vi se at det er mye annet enn datamaskiner som er knyttet til informasjonsteknologien. Men dette vil komme frem etter hvert.

Ved utveksling av informasjon ønsker vi å formidle mening men gjør det ved å bruke tegn. Tegnet er den ytre materielle representanten. Gjennom tidene har en brukt mange former for tegn. Det har vært lydlige tegn, skrevne tegn og elktroniske tegn. Det er en lang rekke vanskelige logiske problem knyttet til tegn. La oss nevne noen

type/token : de tegnene vi bruker er enkeltforekomster. Hvordan kan vi avgjøre om to forekomster er forekomster av samme tegn. Etter den amerikanske logikeren Charles Sanders Peirce (1839-1914) snakker en om token - enkeltforekomst - og om type - det tegnet enkeltforekomsten representerer. Hvert token hører da til en type. Vi bruker token for å få frem type. 

mening/forestilling : tegnene blir representert ved ytre materielle ting. Meninger er noe indre, men samtidig er det noe allment. Om meningene var bare de indre forestillinger hver enkelt har knyttet til sine tegn, vil en ikke kunne forklare hvordan en kan utveksle informasjon mellom ulike personer. Logikeren Gottlob Frege (1848-1925) har understreket den store forskjellen det er mellom meninger og forestillinger. Det ene er allment, det andre er privat.

forbindelse mellom mening og tegn : vi vil se at det er en rekke problemer med hvordan forbindelsen lages og hvordan den opprettholdes 

regning med tegn : i vår tallregning og i mange av våre grammatiske konstruksjoner manipulerer vi med tegn for å oppnå ting med mening. Hvilke manipulasjonerer er tillatte? Hvordan argumenterer vi for dem? Hvordan brukes de?

Alt dette er allmenne logiske problemstillinger. De gjelder all mulig informasjonsutveksling og bearbeiding - ikke bare til språklig kommunikasjon. Det er tilsvarende problemer med å forstå hva datamaskiner kan og ikke kan. Med å forstå hvordan datamaskiner endrer vår virkelighet.

Datamaskinene behandler tegn. Det er alltid et gap mellom tegnene (bokstaver, tall, ord, setninger, diagrammer) og den mening som tegnene skal representere. For oss er det helt vesentlig at mening kan representeres ved tegn, og at vi kan bearbeide meninger ved å gjøre ting med tegn. Her skjer det mye interessant med datamaskiner.

Med datamaskiner har vi fått helt nye muligheter til å produsere, bearbeide, kopiere og slå opp i tekster enn det tidligere var mulig. Anta at en enkelt forsker kan produsere en halv side med tekst i timen. Anta videre at et forskerår er på 1750 timer og et forskerliv er på 40 år. Da vil forskeren ha produsert noe slikt som 70 Mbyte med tekst. Dette er ikke mer enn det som rommes i en litt stor harddisk og en får enkel tilgang til dette ved bruk av en vanlig personlig datamaskin.

Hvis forskeren arbeidet alene, vil han neppe få fyllt opp sin datamaskin på denne måten. Forskeren vil heller ikke få fyllt opp sin datamaskin om det eneste maskinen gjør er å lagre tastetrykk fra tastaturet. Men med datamaskiner er det slik at en både kan og vil gjøre mer. La oss se på forskersamfunnet. Med tekster plassert i datamaskiner vil de kunne bli tilgjengelig for andre forskere på en enkel måte. Andres tekster kan lett kopieres og bearbeides. En forsker vil kunne ha vår nasjonallitteratur tilgjengelig på sin maskin, en annen vil ha tilgang til alle kirkebøker, en tredje vil ha tilgang til alle norske stedsnavn.

Her kunne en gå videre med de store vyer om det kommende datasamfunn og en ny kommende virkelighet. Men la oss være litt forsiktige. Det er en rekke forutsetninger som skal tilfredsstilles før vi får glede av alle disse tekstene som datamaskinene kommer med. For å komme inn på disse forutsetningene vil vi snakke om tre former for teknologi: materiell teknologi, logisk teknologi og sosial teknologi. Den materielle teknologiene har å gjøre med de nye redskapene i snever forstand, med selve datamaskinen og de andre elektroniske komponentene. Men dette er en teknologi som bare er knyttet til bearbeiding av tegn. Vi trenger også måter som tegnene kan representere mening på. Her kommer den logiske teknologien inn. I tillegg trenger en mennesker som kan bruke maskinene og altså en sosial teknologi.

Straks vi begynner å gå ut over selve maskinene til de omgivelsene maskinene skal fungere innenfor ser vi at teknologien har sterke historiske røtter. Datamaskinenes behandling av tegn bygger på en meget lang utvikling. Det er gjort få teknologihistoriske undersøkelser i det hele tatt. Enda færre tar for seg historien til den logiske og sosiale teknologien. Men noe vet vi. Den nærmeste parallell til innføring av datamaskiner er innføring av skrive- og trykkekunst. Der kan vi se litt på skillet mellom de tre teknologier.

Johann Gutenberg brukte flere materielle teknologier for å få til boktrykking. Han var selv gullsmed og vant med metallurgisk arbeid. Det var mye arbeid med å få brukbare typer. Han oppfant en metode for å spenne fast de løse typene på et brett så nøyaktig som trengtes for å få jevnt avtrykk. Han eksperimenterte med trykksverter og brukte vinpresser for å få hardt nok trykk. Gutenberg var midt inne i en teknologisk sammenheng og brukte en rekke materielle teknologier for å få til boktrykkerkunsten rundt 1450.

En forutsetning var at en hadde noe å skrive på. Dette var ingen enkel forutsetning. Gutenberg trykket noen eksemplarer av sin bibel opp på pergament. For å lage en eneste bibel trengtes det da pergamentet fra rundt 180 kalver eller geiter. Boktrykkerkunsten ville ikke kunne ha fått noe gjennomslag om en ikke hadde klart å lage klutepapir. Dette var jo en kinesisk oppfinnelse, men da som papir lagd av silkerester. På 1300-tallet ble det utviklet metode for å lage billige vevde tøyer - og det ble etterhvert en stor samling av tøyrester som en kunne lage papir av.

Etterhvert som boktrykkerkunsten utviklet seg ble mangelen på råvarer til papir et stort problem. Dette toppet seg i førsten av forrige århundre. Det er historier om hvordan en brukte tøy fra egyptiske mumier for å lage papir av. Et nytt gjennombrudd kom med cellulose-papir. Da kunne en bruke trevirke, og papir ble ikke lenger en mangelvare. Cellulosepapiret var en forutsetning for å kunne nytte rotasjonspressen, og med det få den massespredningen av tekster en fikk gjennom de store dagsaviser.

Den logiske teknologien tar for seg hvordan en kan representere mening med tegn. Det tok lang tid å utvikle måter dette kunne gjøres på. En første ansats var piktogrammer der tegnene representerte mening direkte. Senere ble det utviklet skriftsystem der tegnene var knyttet til uttale - gjerne med et tegn for hver stavelse. Som logisk teknologi var dette viktig. Ved å knytte tegnene til uttale var det mulig å lage skriftsystem for andre språk enn sitt eget. Senere fikk en alfabet og med det et lite - og huskbart - utvalg av tegn som skulle kunne brukes til å representere alle mulige språklige yttringer. Til den logiske teknologien hører også grekernes utvikling av metoder for å tenke ut fra antagelser og med det idŽen om formelle beskrivelser.

Den logiske teknologien var godt utviklet da boktrykkerkunsten ble oppfunnet, men ble videre utviklet på grunn av den.

Et eksempel på dette er den standardisering av notasjon - fra regneoperasjonene + - x : til mer avansert matematisk notasjon. Det vesentlige standardiseringsarbeidet startet rundt 1480 og var langt på vei avsluttet rundt 1700. Her kan vi tenke oss at med den større avstand det var mellom skriver og leser så ble standard notasjon viktigere for å formidle mening. Det var ikke lenger slik at skriveren kunne gi direkte veiledning til leseren hvordan skriften skulle forstås.

Et annet eksempel er den utvikling av bokillustrasjonene som fulgte med boktrykkerkunsten. I de gamle manuskriptene ble alt illustrert. Med boktrykkerkunsten ble det mulig å konsentrere illustrasjonene til noen få steder - og legge ned mer arbeid der. Det ble produsert atlas, anatomiske verk og andre rikt illustrerte verk.

Et tredje eksempel er innføringen av titler og forside med forfatter på bøker. Det fantes nok noen bøker med forside før, men det var med boktrykkerkunsten at det ble viktig å markere boka med en egen forside. Med det ble forfatterne og boktrykkerne fremhevet. Boka fikk titler og egen identitet som verk. En begynte også å få bøker i store opplag.

Med skrivekunsten først og deretter med boktrykkerkunsten fikk samfunnet en hukommelse som gikk langt utover den de enkelte menneskene hadde. Mye av samfunnets virksomhet ble definert ved samfunnets tekster. Det er en nær sammenheng mellom utvikling av forvaltningssystemer og utviklingen av logisk teknologi. Vi kommer med det over til den sosiale teknologien.

Skrivekunsten forutsetter et samfunn av skrivere og lesere. Det har tatt lang tid å utvikle det. Norge ble først en skrivefør nasjon i forrige århundre. Her er det viktig at det forutsettes ikke bare at de enkelte kan teknikken med å lese, men også at de kan teknikken med å få inn kunnskap ved lesning. For en bondegutt var det ikke så klart hva en skulle med setninger av typen "Kua har fire bein", og slettes ikke klart at dette hadde noe med de kuene han så til daglig.

Til den sosiale teknologien hører også et produksjons- og distribusjonsapparat for de trykte skriftene. Det er bemerkelsesverdig at allerede 50 år etter at boktrykkerkunsten ble oppfunnet hadde en boktrykkerier ved så godt som alle viktige bysentra i Europa. I middelalderen hadde en lagd en rekke manuskripter, men det var først gjennom boktrykkerkunsten at disse fikk en videre spredning. Det var først nå at manuskriptene for alvor kom med i vår europeiske kulturelle virkelighet.

La oss kort vende tilbake til datamaskinene og den nye teknologien. Det er lett å se mange paralleller med skrive- og trykkekunsten. Vi må i tilknytning til den nye teknologien ta for oss alle de tre aspektene ved teknologier - materielle, logiske og sosiale. Den materielle teknologien kjenner vi rimelig godt. Vi kan beskrive verktøyet og vise hvordan det brukes. Verre er det å ta for seg den logiske og sosiale teknologien. Her kan vi bare si at vi aner en god del, men at dette er deler av den nye teknologien som nesten ikke er undersøkt. Spesielt har en sett lite på de forutsetninger ved logisk og sosial teknologi som datamaskinene bygger på. Vi skal nærme oss dette ved å først se på informasjonsteknologien i vid forstand og ta for oss noen glimt fra dens historie.

Gjennom tidene har det vært forskjell i utviklingen av de tre former for informasjonsteknologi. Noen ganger har den materielle teknologien ligget foran, andre ganger har den sosiale eller den logiske teknologien.

I vår beskrivelse av informasjonsteknologiens historie vil vi legge vekt på hvordan tekster blir behandlet. I dette kapitlet skal vi se at tekster er av mange slag. Vi bruker tekster til å fortelle historier, gjengi samtaler, argumentere og mye annet. Det er vanlig å tenke seg følgende skjematiske bilde av forholdet mellom en tekst og det teksten uttrykker:

Vi har et ord "KU" og det peker til følgende

Det blir litt verre om bildet av kua ikke er så skjematisk.

Da er det manglende symmetri mellom de to delene av forbindelsen. På den ene siden har en det generelle ordet "ku" og på den andre et bilde av en spesiell ku. For å forstå tekst er det alltid en mengde forutsetninger som må tas med og benyttes. En ting er overgangen mellom lydsvingninger og talte ord, eller mellom de svarte flekkene på papiret og bokstaver. En annen ting er forholdet mellom selve teksten og det teksten brukes til. La oss ta for oss noen tekster som på en eller annen måte beskriver noe:

Tekst 1. Myndighetene i Beirut anslår atcirka en fjerdedel av byens bygninger er ødelagt. Før arbeidet med å reparere disse kan begynne, er det nødvendig å rydde opp i byen: fjerne søppelhaugene fra gatene, fylle igjen granathull, kjøre vekk jordvollene som er bygget på mange av de større veiene og rydde miner. - Aftenposten.

Tekst 2. Al væsentlig Erkjenden angaaer Existents, eller kun den Erkjenden, hvis forhold til Existents er væsentlig, er væsentlig Erkjenden. den Erkjenden, som ikke ind efter i Inderlighedens Reflexion angaaer Existents, er væsentlig seet tilfældig Erkjenden, dens Grad og Omfang væsentlig seet ligegyldig. - Kierkegaard.

Tekst 3. Datamaskinen krever et helt lukket språk. Dette gir en grov prinsipiell grense for hva datamaskiner kan. Vi kan gjøre bedre enn det. I vitenskapen er vi vant til å komme med uttalelser om hva vi kan beskrive innenfor et lukket system, og hva vi ikke kan beskrive slik. Selvsagt kan vi ta feil - vi får stadig ny viten. Den feilen vi gjør ved å beskrive i detalj hva datamaskiner kan og ikke kan, er av samme art som ved andre vitenskaplige beskrivelser. - Jervell/Olsen.

Tekst 4. Er f(x) kontinuerlig i intervallet [a,b] og vokser når x vokser fra a til b, så fins det en omvendt funksjon x = g(y), definert i intervallet [f(a),f(b)], og g(y) vokser når y vokser i dette intervallet og er dessuten kontinuerlig i intervallet. - Tambs Lyche.

Tekst 5. Og før ein har samla seg til det sjeldsynte, så skjer det. Tranen dansar no. Myra har fått eit nytt innhald, ein løynd rang ved det som følgjer med tranen. Myra har legi der og visst det i heile vinter. Tranen dansar no. - Vesaas.

I noen av disse tekstene har en et underliggende bilde. Dette er kanskje klarest i tekst 1 og tekst 5. Der brukes teksten til å mane fram dette bildet. I de neste setningene kunne en tenke seg innført fler og fler detaljer om dette bildet. Leseren er i et slags dialogforhold til teksten. For å forstå må leseren ta med seg og sin livsverden. Teksten er aldri helt avsluttet. Det kan alltid legges til nye ting. Tekst 2 og 3 er mer abstrakte - det er ikke et så klart underliggende bilde. Men igjen tar en for seg situasjoner som en kan uttale seg mer om.

Tekst 4 - den matematiske teksten - er av et annet slag. Den beskriver noe. Men det den beskriver er ikke virkeligheten i hele dens fylde, men bare noen få aspekter ved virkeligheten. Disse aspektene beskrives på en fullstendig måte. Teksten gir et sant utsagn.

Vi skiller mellom disse to typene tekster. Tekst 4 kaller vi en lukket tekst, mens de andre tekstene er åpne. Dette skillet mellom åpne og lukkete tekster er vesentlig for å forstå informasjonsteknologiens historie. For å forstå en tekst trenger en ta utgangspunkt i en lang rekke forutsetninger om forbindelsen mellom tegn og mening. Skillet mellom åpne og lukkete tekster går på hvordan slike forutsetninger brukes:

• En lukket tekst er en tekst der alle forutsetninger for å forstå teksten er klarlagt på forhånd.
• I en åpen tekst kan forutsetningene gis underveis etterhvert som en arbeider med teksten.

En kunne også si at de lukkete tekstene gir modeller av virkeligheten. Hvorvidt en lukket tekst gir en velegnet beskrivelse eller ikke, er det samme problemet som om en modell er velegnet eller ikke. En modell er da et skjematisk bilde av virkeligheten - og ikke et bilde der virkeligheten viser seg i hele sin fylde.

I bruken av modeller er det en tidsdimensjon som er viktig. Satt på spissen - i den eldre steinalder var det ikke så mange deler av virkeligheten som var egnet for en beskrivelse med modell eller en matematisk beskrivelse. Med hele sivilisasjonsprosessen - med varer, penger, håndverk, bokholderi, byråkrati, industri,... ble mulighetene for å gi formelle beskrivelser av virkeligheten større.

Denne organiseringen av virkeligheten - fastfrysingen av deler av virkeligheten - kaller vi for formalisering. Med litt fantasi ser en hvordan den foregår rundt en.

La oss si at vi skal dra fra A til B

Dette kan foregå på mange måter - avhengig av hvor mye av virkeligheten vi har formalisert. La oss ta for oss noen måter å organisere dette å gå fra A til B.

• terreng - område der en kan ta seg fram til fots.
• sti - gir retning for hvor vi skal gå slik at elver kan krysses, skrenter unngås, og vi kommer fram dit vi ønsker.
• kjerrevei - en vei som er bred nok og plan nok til at en kjerre kan kjøres på den.
• bilvei - bred,planert vei uten for krappe svinger.
• motorvei - ingen kryssende veier, flere kjørefelt, forbudt å stoppe.
• forstadsbane.
• -----------

Formaliseringen fryser fast deler av virkeligheten. Vi har forventninger til hvordan disse delene skal være. En vei skal ikke plutselig ende i et stup. Motorveier er svært brede og bilistene holder seg på sin høyre halvdel av veien. Med kjerreveier har en andre forventninger.

Litt om terminologi. Jeg snakker om åpen/lukket tekst og om formalisering. Det finnes ikke noe standarduttrykk for disse begrepene. I stedet for lukket tekst er det en del som heller ville si formell tekst. Formalisering er et uttrykk som brukes i mange sammenhenger - og det er mange ulike begreper som skjuler seg bak. Her bruker vi det for en spesiell måte å organisere virkeligheten. Andre steder brukes det om det å beskrive en del av virkeligheten med en lukket (eller formell) tekst.

Mennesket er den eneste talende dyreart. Taleevnen er kanskje den vesentlige egenskapen ved mennesket. Vi vet svært lite om når, hvor og hvordan denne taleevnen oppsto. Vi vil likevel her spekulere litt om hvordan det kunne ha foregått.

Den nærmeste levende biologiske slektninger til mennesket (homo sapiens) er gorillaer (gorilla gorilla) og sjimpanser (pan troglodytes). Disse har felles stamfar for vel 10 millioner år siden, og er biologisk sett omtrent samme forskjell som mellom en giraff og en hjort. Det moderne menneske (homo sapiens sapiens) kan en spore tilbake vel 40 000 år. Før det var det en rekke nære slektninger som Neanderthal-menneskene. Disse er nå dødd ut. Mange mener at taleevnen oppsto med det moderne menneske for vel 40 000 år siden. Begrunnelsen for det er omtrent som følger

• med det moderne menneske har en funnet et stort materiale av (realistiske og abstrakte) bilder. Det fins ikke noe slikt bilde eller dekorasjonsmateriale fra utgravninger fra før - 40 000.
• det er usikkert om det er graver etter mennesker før - 40 000. En har funn der tidligere mennesker ligger som om de var begravd fra - 65 000, men kanskje er disse funnene bare fra mennesker som var i huler som er rast sammen.
• med det moderne menneske kom det i gang en rask utvikling med bruk av redskap og klær. Spesielt bruk av klær gjorde at en kunne jakte på de store dyremassene på de store isbreene under istiden (rein og mammut).
• anatomien til neanderthalmennesket var slikt at en vanskelig kunne gi en artikulert tale.

Vi ser at begrunnelsen er ganske tynn, men for egen del er vi tilbøyelig til å tro at taleevnen oppsto rundt - 40 000.

Den vesentlige kunnskapen vi har om det første moderne mennesket har vi fått ved å se på dagens jeger/samler kulturer. Der er vi igjen ute på spekulativ mark. Det er vanlig å tenke seg at jeger/samler samfunnene er organisert ved smågrupper

• storfamilie på 20-50 medlemmer
• stamme på 200-500 medlemmer

Poenget her er at det var små samfunn og at det ikke var næringsmessig grunnlag for tett bosetting. Det er vanlig å regne med 1 menneske pr 100 km².

La oss så se på taleevnen. Vi deler opp taleevnen i to deler

• evnen til å gi tingene navn
• evnen til å sette sammen ordene til sammensatte setninger

Det siste er mest bemerkelsesverdig og vi har knapt noen formening om hvordan en får det til selv i dag. La oss se litt på den første evnen. Det skal altså opprettes forbindelser der ordet ku skal forbindes med

 Eller med

Vi følger her den amerikanske filosofen Charles Sanders Peirce (1839-1914) og sier at ku er tegn. Vi har tre hovedtyper tegn

• ikon
• indeks
• symbol

Ved et ikon er tegnet og det tegnet står for på en måte det samme. Et eksempel kunne være et lydmalende ord. Ved en indeks har en en fast forbindelse slik en får f eks ved opplæring ved stimulus/response. Det fins dyr som kan både bruke ikoner og indekser, men mennesket er alene om å bruke symboler. I et symbol er forbindelsen mellom tegnet og det tegnet står for mer arbitrært. Men hvordan blir opprinnelsen dannet og hvordan blir forbindelsen opprettholdt. Det har vært lagt vekt på tre ulike måter å gjøre det på

• opprettelse av symbolforbindelsen gjennom ritualer og leker
• tilbakeføring til en skriftlig offentlighet
• tilbakeføring til mer allmenne symboler

Jeger/samler samfunnet hadde bare tilgang til den første formen for symbolforbindelse, og dette hadde store konsekvenser for magisk tenkning. Det måtte en stor innsats til for et lite samfunn å opprettholde alle de ønskete symbolforbindelsene. Denne store innsatsen i små samfunn gjør at en ikke trenger postulere dramatiske genetiske endringer i menneskene rundt - 40 000 for å forklare de store endringene i menneskesamfunnet som startet da. Det kan vel så gjerne være at en liten endring i materielle forhold gjorde at en kunne leve i et litt større samfunn og der en så klarte å lage et språk med symboler.

Det er stor uenighet om medlemmene av jeger/samler samfunnet hadde det godt eller dårlig. La oss sette standpunktene opp mot hverandre

• dårlig: Den gjennomsnittlige levealderen var kanskje 25 år. Lange sultperioder og konstant trussel fra ville dyr.
• godt: Daglig trengtes neppe mer enn 3-4 timers innsats for å skaffe nok mat. Det var først med jordbrukssamfunnene at hungersnøden kom og en fikk lang tvunget arbeidstid.

Det jo interessant at en kan være så uenig om noe så grunnleggende for disse samfunnene. Kanskje har det vært store variasjoner innenfor jeger/samler samfunnene. Den store perioden med gode jaktmuligheter ser ut til å ha endt rundt - 15 000 med utryddelsen av dyreslag som mammut og andre.

Den neste store omveltningen for menneskene kom i den yngre steinalder. Det var da de første sivilisasjoner kom til. De viktigste kjennetegnene for dem var bysamfunn og skriftkultur. Slik omveltning skjedde mange steder omtrent samtidig Midt Østen, Nil-dalen, Indus-dalen, Sør-Øst Asia, Kina, Mellom Amerika o a. Det er uklart om dette skjedde uavhengig av hverandre eller om det var påvirkninger fra en sivilisasjon til en annen.

La oss se på dette fra et informasjonsteknologisk perspektiv. Det første som skjedde var at en begynte med jordbruk og husdyr (- 10 000 dyrking av korn og ris i Turkestan og Sør-Øst Asia, - 9 000 temming av sau og geit i Irak og Jordan). Dette ga grunnlag for en atskillig tettere bosetting. Det er ikke uvanlig å regne med en 50-100 dobling av befolkningen i visse områder. For utviklingen av talespråket måtte dette være vesentlig. Ved å innføre varer og eiendom starter en formalisering av samfunnet. Dette ga etterhvert mulighet til en sosial teknologi knyttet til skrift. I det eldgamle Mesopotamia (- 9 000 - - 6 000) er det funnet en lang rekke små brikker som en mener har vært brukt til å holde orden på lager og regnskap. Dette har vært foreslått som en forløper for skriftsystem.

Det virker som det er rimelig klart at skriftsystem ble lagd flere steder uavhengig av hverandre. For å ha noe å skrive om og ikke bare lage et bilde så trengs en viss formalisering av samfunnet. En type slik formalisering skjedde med lagre, varer, eiendom, kjøp og salg under den neolittiske revolusjon.

La oss nå se litt på den logiske teknologien knyttet til skriftsystemene. Her tenker vi oss fire stadier

• grafiske tegn
• logografisk system
• fonetisk transkripsjon
• alfabet

Et system av grafiske tegn forutsetter en verden delt opp i ikke alt for mange forskjellige typer ting. Dette oppnådde en altså med den sosiale organiseringen, formaliseringen, ved bruk av varer og eiendom. En kan også bruke grafiske tegn som støtte for hukommelsen. La oss tenke oss at en ønsker å huske krigshandlinger - hvem som sloss mot hvem og når. Til det er ikke de logiske kravene til skriftsystemet så store. Beretningene og skriften vil støtte hverandre opp gjensidig. Det er mange steder i verden at en har lagd grafiske tegnsystem. Overgangen fra å lage et bilde er ikke stor.

Mellom fem og ti kulturer utviklet logografisk system rundt - 3000 - flere av dem uavhengig av hverandre. I et logografisk system har en mange tegn for ord og måter å sette sammen tegnene til meningsfulle utsagn. I et logografisk system har en ikke en underliggende muntlig tekst som skriften gir mnemonisk støtte til. Nei, selve skriften er teksten. Dette setter nye krav til standardiseringen av tegnene. Med et logografisk system er en bedre i stand til å skrive om ting som ikke har skjedd - eller kunne skje.

I Mesopotamia utviklet en rundt - 2500 et system for fonetisk transkripsjon. Logisk sett var dette en viktig begivenhet. La oss se litt på forhistorien. I Mesopotamia hadde en to språk - akkadisk og sumerisk. Akkadisk var det gamle språket og skriftsystemet var knyttet til det. Et tegn i et logografisk sytem er både knyttet til en mening og et uttalt ord. Det nye i den fonetiske transkripsjonen er at en brukte tegnene på akkadisk til å representere lyder. Disse lydene kunne så brukes til å representere sumeriske ord. Det viktige her er at en plutselig får et skriftsystem som lar seg lett overføre til nye muntlige språk.

Det siste stadiet - alfabeter - får en til ved en standardisering av den fonetiske transkripsjonen. Dette skjedde i Fønikia rundt - 1500. Med den standardiseringen fikk en redusert antall tegn fra mange hundre til 20-30. Det viktige fra et logisk synspunkt er at en har en fullstendig oversikt over alle tegn. Alfabetet er et lukket tegnsystem. Grekerne utvidet alfabetet med tegn for vokaler rundt -750. Det fønikiske alfabet hadde bare tegn for konsonantene.

Skriftsystemet gir nye muligheter for menneskene til å huske ting. En får også en hukommelse som er uavhengig av enkeltmennesker. Dette hadde dramatiske konsekvenser. Det vesentlige kjennetegnet ved de første sivilisasjoner er denne nye formen for hukommelse - og nye former for aktivitet knyttet til skriftlige tekster. De første sivilisasjoner brukte skriftlige tekster på en helt vesentlig måte. Tekstene ble sivilisasjonenes hukommelse.

For å forstå en tekst trenger en bruke mange forutsetninger. En del av disse forutsetningene kommer inn i den konkrete situasjonen som teksten brukes i. Her er det store forskjeller mellom muntlige og skriftlige tekster. I den skriftlige teksten må mye kontekstinformasjon klargjøres på forhånd. Teksten gjøres mindre avhengig av kontekst. Vi kommer der litt nærmere det jeg har kalt lukkete tekster.

I de første sivilisasjoner fikk en samlet opp mye kunnskap - hukommelsen ble brukt. Samtidig ble det en tendens til at kunnskapen ble presentert som mer allmenn, mindre avhengig av kontekst enn det den burde være.

Alle verdensreligionene er knyttet til skriftlige tekster. Disse skriftene fryses fast - blir til kanoniske skrifter. Skrift brukes til kontrakter og avtaler. Vi får et byråkrati rundt skrift og konflikter søkes løst ved henvisning til skrevne lover.

La oss se litt på de tekstene som ble brukt i det gamle Mesopotamia. Mange av tekstene må sees som oppskrifter. La oss se på følgende babylonske tekst fra -1650:

Vi har her begynnelsen på en oppskrift for laging av grønn glasur. Det skal mye kunnskap til å lage slike oppskrifter. Det som slår en er at en ikke går et skritt bakom oppskriftene og forklarer hvorfor en skulle gjøre akkurat det som er nevnt. Følger en oppskriften får en resultater. Begrunnelser utover dette mangler helt.

Et egyptisk regnestykke ser slik ut

Hvordan ble regnestykket utført? Hvorfor var det nødvendig å gjøre det så vanskelig? Egypterne manglet en del av vårt matematiske språk. Vi ville sette opp likningen:

X + X/4 = 15

og løse den direkte:

5/4 X = 15

X = 60/5

X = 12

I den egyptiske teksten er den opprinnelige formuleringen beholdt så lenge som mulig. En foreslår først svaret 4, antakelig fordi det er så lett å finne 1/4 av. Regner en ut som om 4 var svaret, får en tilsammen 5. Det er 1/3 av det svaret skulle være, og en må multiplisere alle tall med 3. Denne regnemåten ble lært langt opp mot vår tid, og den fikk navnet "regula falsi". Vi kan nå lett se at den bare gjelder for likninger av første grad med en ukjent. Vi synes det ikke er viktig å ha en spesialregel for dette tilfellet. I Egypt var det annerledes - der manglet en vårt formelspråk, og tilfellet med en likning med en ukjent var ikke noe spesialtilfelle av noe mer omfattende.

Den egyptiske teksten er ganske lik den babylonske oppskriften. La oss se på et litt mer avansert problem. Følgende tekst er funnet - i norsk oversettelse:

Problemet ser ut til å være å regne ut volumet av en rettavkuttet pyramide med kvadratisk grunn- og toppflate. Figuren til venstre viser pyramiden sett fra siden. Pyramidens grunnflate har side 4 alen, høyden er 6 alen og toppflaten har side 2 alen - vi ser tallene 4, 6, 2. Figuren er ganske unøyaktig. Det kan bety at det ikke var viktig og vi var kommet til et abstraksjonsnivå over det å tegne en nøyaktig figur og så måle på den. Hvilken formel ligger under regnestykket? Jo antagelig den riktige formelen:

V = ( a² + ab + b² ) h/3

Kjente opphavsmannen til regnestykket denne formelen? Det er klart at en slik formel finner en vanskelig ved bare prøving og feiling. Babylonerne har på samme tid regnestykker som bruker den gale formelen:

V = ( a² + b² ) h/2

Babylonernes formel ville gitt svaret 60 for volumet av den rettavkuttede pyramiden. Feilen er på under 10% og for mange praktiske formål akseptabel.

Hverken den generelle prosedyren (dvs formelen) eller begrunnelsen for den er nevnt i teksten. I ingen av de regnestykkene vi har overlevert fra Egypt eller Mesopotamia er metodene nevnt. Når metodene ikke er nevnt kan en ikke studere dem systematisk. De manglende metodebeskrivelsene gir ikke det grunnlag som trengs for å drive vitenskap.

La oss se på et nytt eksempel. I Rhind-papyrusen er det brukt følgende metode for å beregne volumet av en sylinder med diameter d og høyde h:

V = ( d - d/9 )2 h

eller

V = (16/9)2 (d/2)2 h = 3.16049 (d/2)2 h

Vår holdning er den siste. Det var ikke tilfeldig at vi ikke har fått overlevert annet enn konkrete regnestykker fra Egypt og Babylon. Disse regnestykkene er en slags parallell til deres oppskrifts-beskrivelser i keramikk, metallurgi.

En av de første viktige former for formalisering er knyttet til tall og tid. La oss se litt nærmere på hvordan det skjedde. Fra et logisk synspunkt er tall spesielle. Det er vanlig å tenke seg at en skjønner symboler ved å knytte dem til situasjoner, bilder eller forestillinger. Dette er vanskelig med tall. Det nærmeste en kommer til er å knytte tallene til telleprosessen. Men dette går bare bra for små tall. Det er 31.6 millioner sekunder i et år. Ingen kan telle opp til la oss si en milliard.

Bildeteorien for mening bryter altså sammen når det gjelder tall. Det er da heller ikke annet enn rimelig at det tok lang tid å utvikle vår tallbeherskelse. La oss se på noen mulige skritt mot veien.

La oss se på tre enkle tallsystemer

Her har en et første skritt ut over selve telleprosessen. En har et eget ord for par og teller i par oppover. Det er flere steder en har slike tallsystem. Med dette kommer en kanskje dobbelt så langt som med vanlig telling. Straks en kommer over tall som 6 eller 7 blir navnene upraktiske og blir lite brukt.

Ved telling av par har en følgende oppdeling av tallene

1

2

3 = 2 + 1

4 = 2 + 2

5 = 2 + 2 + 1

6 = 2 + 2 + 2

Til våre tallord er det flere viktige nye ideer ut over det å telle i lange skritt

• en har navn på ulike skrittstørrelser
• en kan bruke tallordene til å angi hvor mange skritt

Fra tallordene kan en se at en har strevd med å lage dem. Vi har først tallordene

en - to - tre - fire - fem - seks - sju - åtte - ni

Deretter kommer en til første skritt "ti". At ti var et slikt skritt kan en alt se i tallene elve og tolv. Elve betyr "en til overs" (one-left) og tolv "to til overs" (two-left). Etter at en har nådd milepælen ti, så trenger en navn for de to tilfellene at det er en eller to til overs. Så går en i tier-skritt oppover. Vi ser at vi er i stand til å angi hvor mange tier-skritt. Vi har både navn på tier-skritt og kan bruke tallordene til å angi hvor mange tier-skritt. Denne måten å telle oppover tømmes ut ved hundre. Ordet hundre betydde egentlig tiere-av-tiere. En kan ane dette ved å se på gotisk (10 - taihun, 100 - taihuntaihund). Ordet hundre ble en ny milepæl - og ble navnet på en ny type skritt. I de ulike indoeuropeiske språk bruker en nært beslektede ord for 100. En mener derfor at konstruksjonen med 100 er svært gammel.

Vårt ord tusen og det franske mille ser ikke ut til å være beslektede, og en antar at konstruksjonene av 1000 er vesentlig nyere enn den for 100. En gammelnorsk variant av tusen er thushundrad - "sterkt hundre". Igjen et vitnemål om dette å telle i skritt oppover og så sette navn på der tellingen stopper. Dette navnet blir så igjen navnet på et nytt skritt.

Nå er det klart at samfunnet at behovet for de veldig store tall ikke var påtrengende. Vi ser da også at de større tallene fikk navnene sine mye senere. Million (som betyr stort tusen) dukket opp i 14.århundre med bankvesenet i Italia. Milliard var et fransk tallord først. Det slo igjennom i store deler av Europa etter den fransk-tyske krig. Ved freden i Frankfurt an Main i 1871 måtte Frankrike avstå Alsace-Lorraine og betale en krigsskadeerstatning på fem milliarder francs.

Med denne logiske teknologien er vi i stand til å sette navn på tall som det er umulig for noe menneske å telle opp til.

Vårt arabiske tallsystem ble for alvor tatt i bruk i Europa rundt 1500. Vi skal ta for oss mer detaljer om tallsystemet senere - blant annet se på forbindelsen med kjøpmannsregningen og med boktrykkerkunsten - men la oss bare se på forbindelsen til tingene over. Tallsystemet er knyttet til idiografisk skrift. Tallet 674 skrives likt på alle språk, men uttales svært forskjellig. I tallsystemet har en løst problemet med å finne på navn til større og større skritt.

Det å holde orden på tall ble viktig i de første sivilisasjoner. Det var tre hovedmåter en klarte dette på

• småstein på bakken eller et bord
• merker skåret inn i tre
• knuter på tau

Vi har flere rester av dette i språket. Det romerske ordet for småstein er calculus. Det romerske ordet for å skjære, putare, finnes både i compute og i amputasjon.

Alle sivilisasjoner har hatt måter å sette navn på tiden. En bruker da naturlige rytmer for å sette navn på tiden. De rytmene en bruker er som regel

• dag - fra soloppgang til solnedgang
• døgn - fra soloppgang til soloppgang
• måned - fra fullmåne til fullmåne
• år - fra vintersolverv til vintersolverv

Dette går igjen i alle sivilisasjoner. Det er et problem. Det er ikke noe enkelt forhold mellom disse naturlige størrelsene. Lengden av dagen variererer med årstiden. 1 år = 12.368 måneder = 365.2422 døgn. 1 måned = 29.5306 døgn. Sivilisasjonene har enten tatt utgangspunkt i sola eller i måneden. Det vil si at de enten har hatt som grunnenhet året eller måneden. For forbindelsen mellom de to enhetene har en som regel satt at et år er 12 måneder. Dette har følgende konsekvenser

• solkalenderen følger solas gang. Kalendermånedene har lite med månefasene å gjøre.
• månekalenderen følger månen. Etter 12 måneder er det gått 354.37 døgn.

I det gamle Babylon brukte en månekalender, mens solkalenderen ble brukt i Egypt. Det meste av vår tidsoppdeling kommer fra Babylon, men fra Egypt kommer det at vi har en solkalender.

I Babylon hadde en følgende forenkling av kalenderen

1 år = 12 måneder

1 måned = 60 dag/natt

En finere oppdeling får en så ved å fortsette på samme måte:

1 dag/natt = 12 timer

1 time = 60 minutter

Ordet minutter kommer av det romerske "prima minuta" - de første smådeler. En har også de andre smådeler "secunda minuta" som ble til vårt sekund.

1 minutt = 60 sekunder

Vi får en anelse om opprinnelsen ved å se på navnene på ukedagene. Vi tar med navnene på norsk engelsk fransk og setter til slutt det som er opphavet til navnet:

Opphavet til at uka har 7 dager er at babylonerne hadde 7 planeter (inklusive sol og måne). Hver planet hadde et gudenavn. Disse er senere oversatt til gresk og til latin. Et problem gjenstår. Hvorfor akkurat rekkefølgen over på ukedagene? Det er to naturlige rekkefølger - enten planetene utenfra og innover (slik babylonerne så det)

saturn - jupiter - mars - sol - venus - merkur - måne 

eller den motsatte rekkefølgen.

 Løsningen er at babylonerne hadde angitt hvilke planeter som styrte hver time på dagen. Da regnet en utenfra og innover. En fikk

Og så ga en dagene planetnavn etter planeten som styrte første time på dagen. Etter 7 dager gjentok syklusen seg.

I Babylon hadde en månekalender. Dette ble videreført i både den jødiske og den arabiske kalender. Vår solkalender kommer fra Egypt. Der var det svært viktig å vite når den årlige oversvømmelse av Nilen kom. Den pleide å komme rett etter at stjernen Sirius viste seg for første gang på morgenhimmelen. Egypterne regnet derfor året fra første Sirius-oppgang til neste første Sirius-oppgang.

Romernes nyttår var 1. mars med de konsekvenser dette hadde for navnene på månedene september, oktober, november, desember og for februar som ble brukt som justeringsmåned for å få kalenderen til å stemme. Den siste måneden i året hadde en spesiell funksjon. Da skulle valg holdes og militæravdelinger skiftes ut. I år - 153 var det en oppstand i Spaniaog situasjonen var vanskelig. Vanskeligere ville det blitt om militæravdelingene skulle skiftes ut. Så for å løse problemene valgte en å flytte nyttår til 1. januar slik at avdelingene kunne være i Spania i 22 måneder.

Romerne hadde til å begynne med en månekalender. Julius Cæsar forandret den etter egyptisk oppskrift til en solkalender. Månedene hadde 30 og 31 dager bortsett fra februar. Han startet med 31 dager i januar og fikk så følgende greie rekkefølge

31 - 30 (29) - 31 - 30 - 31 - 30 - 31 - 30 - 31 - 30 - 31 - 30

Til minne om bedriften kalte han opp juli etter seg og lot den være en lang måned med 31 dager. Keiser Augustus ville ikke være dårligere så han kalte opp august etter seg og forlangte også 31 dager for den. Resultatet ble den litt tungvinte fordelingen av dagene i månedene som vi nå har

31 - 29 (28) - 31 - 30 - 31 - 30 - 31 - 31 - 30 - 31 - 30 - 31

I den julianske kalender hadde en skuddår hvert 4. år. Resultatet ble 1 år = 365.25 døgn. Altsle siden rettet litt opp i den gregorianske kalender, som vi bruker , slik at 1 år = 365.2425 døgn. Dette er litt mindre nøyaktig enn den kalenderen Maya-folket i Mellom-Amerika brukte. Der har en 1 år = 365.2420 døgn.

Vi vil her hevde: "Matematikk er den første vitenskap, og musikk er den første delen av matematikk. Dette ble utviklet av Pytagoras og hans elever i Sør-Italia fra -520." Det er kanskje litt overraskende at Pytagoras holdt til i Sør-Italia. Gresk vitenskap og kultur holdt til langt utenfor grensene av det nåværende Hellas. Den greske samfunnet var først og fremst et sjøfartssamfunn - de enkelte delene knyttet sammen via sjøveien.

Pytagoras levde i det 6. århundre før 0. Ulike beretninger sier han ble 75, 82, 90, 99, 104 og 117 år. Vi vet at han vokste opp på øya Samos (nær Tyrkia), vandret til Fønikia, Egypt, Babylon for så å vende tilbake til Samos. Han dro til Kroton i Sør-Italia i -529 og grunnla der et religiøst brorskap. Pytagoras var utvilsomt påvirket av egypterne og babylonerne. I Pytagoras tid var jo både Egypt og Babylon gamle kultursamfunn, mens Hellas var i utkanten av kulturen.

Pytagoras er kjent for sitt religiøse brorskap. Det var forbud mot kjøtt, fisk, bønner og vin. En skulle ikke bruke ull-klær. Kvinner kunne være med på lik linje med menn, og spilte en viktig rolle den første tiden. Medlemmene hadde spesielle klær, gikk barføtt og levde et enkelt liv. De trodde på sjelevandring og at stjernene var besjelet. Pytagoreerne ble utsatt for forfølgelser og måtte forlate Kroton. I ettertiden ble de ansett som martyrer.

Den pytagoreiske musikkteori hører til det vi nå kaller harmonilære. Med litt øvelse hører vi om en tone er en oktav høyere enn en annen. Det samme om det er en kvint eller en kvart høyere. For å forklare dette brukte Pytagoras det enkleste av alle strengeinstrument - monokorden:

Monokorden består av bare en streng spent ut mellom to punkter. Det er en flyttbar bro mellom punktene. Med den kan vi forandre lengden på den svingende strengen. Hva er så en oktav? Jo, det er toneintervallet vi får ved først å la hele strengen klinge, og deretter bare halvparten.

Oktav: HELE STRENGEN ® 1/2 STRENG .

Kvint: HELE STRENGEN ® 2/3 STRENG .

Kvart: HELE STRENGEN ® 3/4 STRENG .

Med et enkelt måleinstrument - passeren - kunne en se etter om en hadde en oktav, en kvint eller en kvart. La oss si at vi hadde en hel streng AB og C et punkt på AB. Om vi ved først å la AB svinge og deretter AC fikk en kvart, så måtte BC gå opp i AC akkurat tre ganger.

AB = 1 ´ AC + CB der CB < AC

AC = 3 ´ CB

I ettertiden dukket denne prosedyren opp som den euklidske algoritme for å finne største felles mål til to tall.

For å finne det største felles mål trenger vi bare trekke fra multipla av tall fra andre tall. Dette ble gjort på linjestykker med bruk av passer. Oktaven, kvinten og kvarten har alle den egenskap at det resterende strengestykket er det største felles mål for hele strengen og det mindre strengestykket. I følge den pytagoreiske musikkteori skulle de grunnleggende toneintervallene ha denne egenskapen. De neste grunnleggende toneintervallene vil da være:

HELE STRENGEN ® 4/5 STRENG

HELE STRENGEN ® 5/6 STRENG

Oktav = kvart + kvint

Pytagoreerne oppdaget at oktaven kunne deles i to:

AD : AB = OKTAV

AD : AC = KVINT

AC : AB = KVART

Vi sier at OKTAV = KVINT + KVART. Selve toneintervallene ble anskueliggjort ved den resterende delen av strengen. Da blir det naturlig å snakke om intervall og at en adderer dem. Så langt ble hele teorien bygd opp geometrisk - det ble snakket om linjestykker og en undersøkte dem med passer. Tallene kom nå inn. De ble først brukt til å systematisere oppdelingen av oktaven. Ved siden av strengen la en en målestav og på den var det avmerket tallene 1-2-3-4 :

Vi får da

intervallet fra 2 til 4 : oktav

intervallet fra 2 til 3 : kvint

intervallet fra 3 til 4 : kvart

Ved siden av passeren ble målestaven et viktig verktøy. Målestaven ble kalt "kanon" og vårt ord kanonisk kommer av dette. Et problem kom raskt ved bruk av tallene 1-2-3-4 på målestaven. Det er ikke bare slik at en kan dele oktaven i først en kvart og så en kvint, men en kan også gjøre omvendt:

OKTAV = KVART + KVINT

Denne oppdelingen kommer ikke fram om en bare bruker tallene 1-2-3-4 , men om en tar med alle tallene 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12 på målestaven kommer det pent fram:

oktav : fra 6 til 12

kvint : fra 6 til 9

kvart : fra 9 til 12

kvart : fra 6 til 8

kvint : fra 8 til 12

Toneintervallene ble sett på som linjestykker, eller mer presist som par av linjestykker som sto i et visst forhold til hverandre. Å si at to toneintervall var begge to oktaver ble uttrykt ved:

linjestykker AB AC DE DF

AB dobbelt så lang som AC

DE dobbelt så lang som DF

Pytagoreerne sa at "AB og AC var analoge til DE og DF". Vårt ord analogi stammer fra den pytagoreiske musikkteorien og var altså et teknisk begrep for "samme toneintervall".

Vi har hevdet at med den pytagoreiske musikkteori har vi den første vitenskap. Det er klart at det vil være noe tilfeldig hvor vi setter starten på vitenskaplig tenkemåte. Pytagoras selv var mer enn 30 år i Egypt og Babylon. Det er klart at han må ha hatt med seg mange impulser derfra. Likevel blir han regnet som den første.

La oss sette oss inn i hvordan musikkteorien ble oppfattet av samtiden. Musikk har til alle tider virket sterkt på menneskene. Vi har oppfatninger om hvilke toner som klinger bra sammen, og hvilke som ikke gjør det. Melodier framkaller følelser. Pytagoras kom med en teori om hva en skulle være oppmerksom på i en musikksituasjon. En trengte ikke bry seg om

• strengens tykkelse
• strengens lengde
• materiale
• anslaget
• spilleren
• ........

Men bare forholdet mellom lengdene av noen linjestykker

Her ser vi litt av den vitenskaplige innfallsport til virkeligheten. Ved innvielse lærte en en spesiell måte å se virkeligheten på, hva som var vesentlig og hva som en kunne se bort fra. Samtidig var de innviede overbevist om at en hadde en spesiell innsikt.

Det var flere grader av innvielse i de pytagoreiske mysterier. Den mest avanserte var for "matematikerne", mens de mindre avanserte var for de såkalte "akusmatikerne". Ordet matematikk kommer av et gresk ord for kunnskap, og matematikerne var de som gjennom innvielse fikk del i virkelig kunnskap og ikke bare meninger.

Pytagoras viste at en del av virkeligheten som alle trodde var åpen kunne fanges inn av en lukket beskrivelse. Dette måtte fortone seg som en stor overraskelse; spesielt fordi den lukkete beskrivelsen ble bare lært de som var innviet i det pytagoreiske brorskap.

Den lukkete beskrivelsen er langt mindre visuell enn tekstene fra egyptisk og babylonsk regning. Disse beskriver konkrete regneoppgaver. Hva en oktav er, kan ikke visualiseres på samme måte. Vi kan høre om vi har en oktav, men om vi åpner øynene og ser på musikksituasjonen så er det langt i fra klart hva en da skal se på.

Musikkteorien ga støtet til å lage "musikkteorier" for andre deler av virkeligheten. Vi kjenner det igjen i slagord som "alt er tall", i "sfærenes musikk" og i vårt begrep vitenskap.

Tekst som bilde av virkeligheten

Vi har alt sett en del problemer med å se på tekster som bilde av virkeligheten. Vi så det først i våre to kuer:

Det er bare den øverste kua som gir et slikt bilde som det er vi forestiller oss at tekster gir. Dernest så vi at menneskene har store problemer med å opprettholde symbolforbindelser. Det gjøres med ritualer og leker - og det gjøres med å henvise til alt eksisterende symbolforbindelser. Når vi så kom til den pytagoreiske musikkteorien så ble det straks uklart hva de underliggende bildene var. Selve dødsstøtet for billedteorien kommer med grekernes arbeide med matematiske bevis.

I utgangspunktet kan bevis sees som noe visuelt. Ordet bevis knytter seg an til synssansen - ikke hørsel eller lukt. Vi bruker visuelle metaforer. "Jeg ser det", "Det er opplagt" osv. Hørsels eller luktmetaforer går dårlig. De første bevisene var nok også visuelle. Her er noen kandidater for tidlige bevis. Nedenfor ser vi hvordan en får et kvadrat med dobbelt så stort areal fra et gitt kvadrat

I kjegleskrifter fra Mesopotamia ser en denne figuren. Nedenfor viser vi hvordan kvadrattallene kan sees som en sum av ulike tall som:

52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Hele språkbruken i matematikk er bygd opp på visuelle begrep. Vi skal i dette kapitlet se at dette gir store problemer. I Euklids lærebok i geometri er det ikke mye av det visuelle tilbake. Ikke bare snakker han om "Punkter som noe som ikke kan deles opp" og "Linjer som lengder uten bredde", men i prisippet kunne en helt unngå figurer i teksten.

Vi vil her hevde at nøkkelen til dreiningen vekk fra det visuelle ligger i pytagoreernes musikkteori og dens bruk av motsigelsesbevis. Noe kommer også fra Parmenides og den eleatiske filosofi, men det vil føre litt langt å komme inn på det her.

Kan oktaven deles i to like intervall?

Pytagoreerne undersøkte toneintervallene ved å finne det felles mål for de to delene. Skikkelige toneintervall skulle ha et felles mål. I vår moderne terminologi svarer det til at forholdet mellom strengestykkene skulle være et rasjonalt tall. Et naturlig spørsmål for pytagoreerne var:

KAN OKTAVEN DELES I TO LIKE TONEINTERVALL?

I moderne terminologi svarer det til:

Finn det tall x som er slik at

2 : x = x : 1

dvs vi må ha x =

Er x et rasjonalt tall?

Pytagoreerne fant ut at det søkte toneintervallet var som forholdet mellom diagonalen og siden i et kvadrat.

Diagonal og side har ikke noe felles mål

I gresk matematikk er det flere bevis for dette. Det er uklart hvilket som kom først. Det følgende er en god kandidat:

Vi har tegnet inn to kvadrater, og satt av samme bokstaver på linjestykker som er like lange. Situasjonen blir beskrevet med :

s = s' + d'

d = s + s'

Her er d og d' diagonalene i det store og i det lille kvadratet. s og s' er sidene i de to kvadratene. Konstruksjonen kan fortsettes til mindre og mindre kvadrater med diagonaler d'', d''',..... og sider s'', s''',........ Anta nå at vi skal finne største felles mål mellom d og s. Vi får da:

d = s + s' der s' < s

s = 2s' + s'' der s'' < s'

s' = 2s'' + s''' der s''' < s''

s'' = 2s''' + s'''' der s'''' < s'''

Vi får en uendelig prosess, og kommer ikke fram til noe felles mål for d og s. Sidene i kvadratene blir mindre og mindre. Dette argumentet ble utsatt for harde angrep. Formelt likner det på Zenons paradoks om Akilles og skilpadden:

Akilles, den raskeste av menneskene, skulle løpe omkapp med skilpadden, den seneste av firføttingene. Akilles starter i A. Skilpadden samtidig i B, og har da et forsprang. Akilles må først nå B. Da har skilpadden kommet til C. Når Akilles har nådd C, så har skilpadden nådd D og så videre. Akilles kan ikke nå igjen skilpadden.

Mange har sett på Zenons paradoks som et innlegg i debatten om siden og diagonalen i et kvadrat har noe felles mål.

Motsigelsesbevis

Argumentet ble senere ført som et motsigelsesbevis. At og 1 ikke har noe felles mål er det samme som at er ikke et rasjonalt tall. La oss se på argumentet for det (i moderne språkdrakt):

TEOREM. er ikke et rasjonalt tall.

Bevis:

Anta at er et rasjonalt tall. Vi antar altså at:

= s/r , der r og s er naturlige tall.

Nå kan vi videre anta at ikke både r og s var like tall. Ellers kunne vi ha forkortet brøken. Vi har så:

s2 = 2r2

Fra denne likningen ser vi at s må være et like tall. Vi har altså:

s = 2t , der t er et naturlig tall.

Setter vi det inn i likningen over så får vi:

4t2 = 2r2

Og ved å forkorte

2t2 = r2

Som viser at r må være et like tall. Vi har over vist at s må være et like tall, og at ikke både r og s kan være like tall. Vi har en selvmotsigelse. Vår antagelse " er et rasjonalt tall" må være gal og vi kan konkludere at teoremet er vist.

Prøv nå å betrakte den matematiske teksten over som et bilde av virkeligheten. Teksten starter med å anta at " er et rasjonalt tall". Dette er, som vi senere viser, helt galt. Vi kan ikke ha noe bilde av den første setningen i beviset. De andre setningene blir like umulige. Vi snakker om noe vi ikke kan ha noe bilde av. Det er jo dette som er vitsen med et motsigelsesbevis. Hva er det da vi snakker om? Det var i gjennomtenkningen av dette at vi fikk utviklet:

• Å TENKE UT FRA FORUTSETNINGER
• LOGIKK
• BEVIS
• AKSIOMATISKE TEORIER

Så lenge den matematiske teksten var et bilde av virkeligheten, var det ikke nødvendig å utvikle slike begreper.

Euklid

Euklid virket i Alexandria i Egypt rundt år -300. Han blir omtalt som en snill og mild mann, og en ypperlig lærer. Han skrev blant annet læreverket "Elementene". Der la han fram i 13 bøker på tilsammen rundt 400 sider matematikken slik han kjente den. Det meste av stoffet er nok utviklet av andre, og Euklids rolle er mer som kompilator. Mye av diskusjonene om "Elementene" går i våre dager ut på å tid- og personfeste de ulike teoriene i verket.

Verket har hatt en enorm innflytelse. Det ble brukt i skoler opp mot første verdenskrig, og har hele tiden vært et mønster for hvordan kunnskap skulle organiseres. Forskjellen i stil fra de babylonske og egyptiske beskrivelsene er enorm. Vi opplever Euklids beskrivelser som moderne. La oss dukke litt ned i verket.

�pningen går rett på sak:

DEFINISJONER

1. Et punkt er det som ikke har noen deler.

2. En linje er en lengde uten bredde.

........

........

23. Parallelle rette linjer er rette linjer i samme plan

som om de blir forlenget ubegrenset i begge retninger,

ikke skjærer hverandre i noen retning.

POSTULATER

La det følgende bli postulert:

1. � tegne en rett linje fra et hvilket som helst punkt

til hvilket som helst punkt.

2. � forlenge en endelig rett linje sammenhengende til en

rett linje.

3. Å beskrive en sirkel med hvilket som helst senter og

radius.

4. At alle rette vinkler er like.

5. At om en rett linje skjærer to rette linjer slik at de indre vinklene på en side er tilsammen mindre enn to rette vinkler, så vil de to rette linjene om en forlenger dem skjære hverandre på den siden.

AKSIOMER

1. Ting som er like med samme ting, er like med hverandre.

2. Om like blir lagt til like, så vil de hele være like.

3. Om like blir trukket fra like, så vil restene være like.

4. Ting som faller sammen med hverandre, er like.

5. Det hele er større enn en del.

Fra dette utgangspunktet utvikler Euklid matematikken. Senere i verket kommer flere definisjoner, men ikke flere aksiomer og postulater. Alt utvikles fra disse få grunnleggende setningene. Med dette er det klart markert at teksten ikke er noe bilde av virkeligheten. Vi kan ikke forestille oss slike punkter og linjer som Euklid snakker om.

I argumentasjonen henviser en til postulater, aksiomer eller tidligere viste utsagn, og ikke til at verden er sånn eller sånn. En har her beveget seg langt vekk fra det visuelle. Vi har nå bedre forståelse for logikk og det å tenke ut fra forutsetninger enn Euklid hadde, og ser at det på flere steder er uuttalte forutsetninger; men stort sett er argumentene fullstendige. Det femte postulatet, parallellpostulatet, har blitt spesielt mye diskutert. Diskusjonene startet alt i Alexandria og har fortsatt like til vår tid. Diskusjonen har da ikke vært om Euklid gjorde feil i utledningene, men om selve postulatet var riktig. Her er det en annen holdning til utledninger og til matematikk enn den vi ofte har idag.

For grekerne ga matematikk en beskrivelse av naturen. Det var viktig å vite om aksiomer og postulater var sanne. Grekernes holdninger lå halvveis mellom den klassiske - tekst som bilde av virkeligheten - og den fra moderne matematikk. Det var ikke for dem likegyldig hvilket aksiomsystem som ble valgt. Aksiomsystemet skulle være sant. Men straks en var blitt enig om et system, så ble all argumentasjon begrunnet ut fra aksiomer, definisjoner og tidligere viste teoremer.

Ordet matematikk kommer fra den pytagoreiske tradisjon. I den greske kultur var det et fellesnavn på de kunnskapsområdene der en hadde skikkelig kunnskap og ikke bare meninger. Romeren Boethius (ca 500) oppsummerte dette for ettertiden. Han snakket om de sju frie kunster. Først kom de tre veier:

Trivium : Grammatikk, retorikk og logikk.

og deretter de fire veier:

Kvadrivium : Aritmetikk, geometri, astronomi og musikk.

De trivielle kunster, trivium, var regnet som de enkleste og ble undervist først. Deretter kom de matematiske kunster, kvadrivium. Det var også en begrunnelse for hvorfor en trakk fram akkurat disse fire kunstene.

Kunnskapene gjaldt enten punkter eller utstrakte legemer, og enten ting i ro eller i bevegelse. En fikk:

UTSTRAKTE

PUNKTER LEGEMER

I RO aritmetikk geometri

I BEVEGELSE musikk astronomi

Boethius samlet det som skulle undervises i de sju frie kunstene. Hans tilrådinger holdt seg med små endringer i 1000 år. Med det fikk en etterhvert utviklet faget matematikk. Viktig var selvsagt de institusjonene undervisningen foregikk i - klosterskoler og universiteter. Universiteter behandler vi nedenfor.

Mye kunnskap gikk tapt etter den greske oppblomstring. Den romerske kultur var altfor innrettet på anvendelser til å forstå hvorfor en skulle holde på med matematikk. Dette er også klart hos Boethius. Han skjønte ikke vitsen med bevis og kuttet dem stort sett ut av tekstene. Tilbake sto definisjoner og resultater. I den kirkelige kultur før år 1200 sto det ikke bedre til. For å vise forfallet kan vi se på en av de mest berømte disputter på 1000-tallet. Ragimbold fra Køln og Radolf fra Liege utfordret hverandre med spørsmål og problemer. Et av spørsmålene gjaldt å beregne siden i det dobbelte kvadrat. Begge var klar over at en kunne bruke følgende figur:

Vi ser at de var ute etter kvadratroten av 2. Ragimbold holdt fast på at det var 17/12 = 1.416666... og Radolf 7/5 = 1.4 . En ting var at begge to var svært mye lengre fra det riktige svaret enn babylonerne var. En annen og verre ting var at de ikke hadde skjønt poenget med tilnærminger.

Den greske kultur ble overlevert europeerne via araberne. Noe ble kjent gjennom arabernes læresteder i Spania fra år 1000. Annet gikk via det arabiske Sicilia, det østromerske rike rundt Bysants, korstogene og handelsreiser. I lang tid var den viktigste måten å få ny kunnskap på i Europa å finne nye arabiske eller greske tekster og oversette dem til latin.

En av de fremste oversettere var Gerard av Cremona (død 1187). Han oversatte Galen (medisin), Aristoteles (fysikk), Ptolemeus (astronomi), Euklid (geometri) og Al-Khowarizmi (algebra). Ialt oversatte han mer enn 70 verk. På kort tid kom mye ny kunnskap til Europa. Det tok lang tid før det ble fordøyd og en fikk kunnskap utover oversettelsene.

Det var først med boktrykkerkunsten at en fikk stor utbredelse av de oversatte skriftene. Da gikk forlaget på leting etter manuskripter som kunne trykkes opp.

Rundt 1200 ble de første universitetene organisert. Ordet "universitet" betyr sammenslutning og var et vanlig ord på 1200-tallet for laug. Laugstrukturen ga en rettslig basis for universitetenes virksomhet. Vi kan fortsatt se mange rester av denne strukturen i dag.

På den tiden var det vanlig å komme til universitetene i 10 års alderen. En startet så med trivium og gikk deretter over til kvadrivium. Tilsammen tok de sju frie kunster ca 6 år. En studerte da "liberales artes" og var artist på artist-fakultetet og skulle ta artium. Deretter kunne en fortsette i 8 nye år på fagfakultetene - teologi, jus og medisin. På artist-fakultetet var det flere eksamener:

• Baccalaureus. Svenneprøve. En fikk da rett til å påta seg underordnet læreoppdrag ved samme fakultet.
• Magisterium. Mesterprøve. En kunne påta seg læreroppdrag ved fakultetet.
• Doktorat. En fikk jus docendi (dosent) som ga en retten til å undervise ved et hvilket som helst av fakultetene ved universitetet.

Denne formaliseringen ledet til en avgrensing av kunnskapsfagene i forhold til andre måter å organisere kunnskap på.

Middelalderens fremste matematiker var Leonardo av Pisa også kjent som Fibonacci. Han var kjøpmann og gjorde mange reiser til de arabiske landene. Der ble han kjent med en annen tradisjon enn universitetsmatematikken. Hans bok "Liber abaci" kom ut i 1202. Der la han fram:

Arabiske talltegn.

Dobbelt bokholderi.

Praktiske regneoppgaver med løsning av likninger av første og andre grad.

Fibonacci-tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ....... Disse var løsningen på et problem. Gitt et nyfødt kaninpar. De trenger en måned for å bli voksen og deretter føder de et nytt kaninpar hver måned. Hvor mange kaninpar vil det da være etter 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...... måneder?

Regnekunsten spredde seg gjennom kjøpmennene. I Kongespeilet fra 1260 står det: "Lær du deg tallregningen vel, det trenger kjøpmannen meget til." De arabiske talltegnene dukket opp i Norge rundt 1300.

Det er lett i dag å undervurdere hvor vanskelig en da syntes regningen var. Et vitnesbyrd om dette er at en regnet med flere regnearter enn våre fire. Overgangen fra addisjon og subtraksjon til multiplikasjon og divisjon var så stor at det var vanlig å også ta med fordobling og halvering. Mye av vanskeligheten kom av at en ikke hadde god nok notasjon.

En historie fra 1500-tallet forteller om en rik tysk kjøpmann. Han ville gi sin sønn den beste handelsutdannelse som fantes og gikk da til en universitetslærer. Der fikk han vite at når det gjaldt addisjon og subtraksjon kunne en gi en god utdannelse i Tyskland, men for å lære multiplikasjon og divisjon burde sønnen dra til Italia.

Skoleregning

Kjøpmennen organiserte regneopplæring utenfor universitetssystemet. I mange tyske byer var det egne regnemesterlaug. Disse ga grunnlag for regnebøkene, som igjen ga grunnlag for bedre organisering av opplæringen. Behovet kom spesielt fra kjøpmennene.

Mennene bak reformasjonen var også med på å organisere skoleregning. Philip Melanchton skrev: "Aritmetikkens begynnelsesgrunner, addisjon og subtraksjon, er ubetinget nødvendig til daglig bruk og så lett at gutter kan lære det. Reglene for multiplikasjon og divisjon er riktignok vanskeligere, men med noen anstrengelse forstår man dem allikevel snart." (Hans kommentarer om bare gutter var ikke uttrykk for mer enn den vanlige kjønnsdiskriminering på den tiden.)

I Danmark-Norge ble matematikk innført som skolefag av Christian IV.

Johann Gutenberg oppdaget rundt 1450 hvordan en kunne få godt avtrykk selv om en bygde opp siden av tegn for hver enkelt bokstav. I løpet av en generasjon fantes det boktrykkere i alle store og middelstore byer i Europa. Trykte bøker og pamfletter trengte gjennom til de fleste lag av befolkningen. Dette ga en større avstand mellom forfatter og leser. Behovet for ensartet notasjon ble større.

Etter bibler og religiøse skrifter var regnebøker en av de viktigste genre. Fra 1480 av kom det en hel rekke. I disse bøkene gjøres det mye vesen ut av notasjonen. Det følgende illustrerer det.

Notasjonen for addisjon og subtraksjon, + og -, dukket opp i en regnebok 1480 i Tyskland. I Italia brukte en p og m (for piu og meno). Først rundt 1600 slo den tyske notasjonen gjennom i alle land. I Skandinavia brukes fortsatt ofte for subtraksjon. Det skyldes regneboka ............. I England og USA brukes dette tegnet for divisjon. Her kan en spore det tilbake til en annen regnebok.....

Noe av notasjonen er omhyggelig begrunnet. Vårt likhetstegn = ble innført av Robert Recorde i 1550 ved :

Multiplikasjonstegnet x kommer fra den gamle kryssmultiplikasjonen:

3 7 1.steg: 7x7 = 49

. . 9 og 4 i mente

. . 2.steg: 3x7 + 3x7 + 4 = 46

3 7 6 og 4 i mente

000000000000000000000000 3.steg: 3x3 + 4 = 13

1 3 6 9

Leibniz erstattet dette med en prikk i i 1690. Det var selvsagt tilfeldig hvilken notasjon som slo gjennom. Det var ikke tilfeldig at behovet for notasjoner ble så stort i dette tidsrommet. Vi regner med at mellom 1480 og 1700 ble de viktigste notasjonene klarlagte. Det var også mange forslag fra den gang som nå er glemt - mest fordi de ikke var viktige nok til at en trengte egne tegn for dem:

Utviklingen av notasjoner var viktig for utbredelsen av regning. Det var også med på å avgrense regning og matematikk som fag. En konsentrerte seg om de problemer som kunne uttrykkes med de tegnene en hadde.

Grekerne hadde ikke formler. I stedet ble de matematiske sammenhengene uttrykt med ord. La oss ta et eksempel. Likningen

X³ + 3X² - 2X + 6 = 0

ville bli oppfattet geometrisk. Tall var linjestykker. Opphøyd i annen ble det et kvadrat og i tredje en terning. Det vi ville si var en likning var for dem et geometrisk utsagn. Dette ga flere problemer:

En kan ikke anskueliggjøre mer enn tre dimensjoner. Vi ser at grekerne klarte 4., 5. og 6.potens bare ved ekstra knep. De ble kalt for kvadrat-kvadrat, terning-kvadrat og terning-terning og det er høyst uklart hvordan grekerne forestilte seg disse. Slike potenser fins da bare noen få steder. Høyere potenser finnes det ikke.

For oss er det en enkel overgang til likninger med flere ukjente. Denne overgangen kunne gjøres innenfor den geometriske tankemåten, men var tungvinn og ble ikke gjort.

Noe av vitsen med formler er at en kunne regne med variablene som om de var tall. Med den geometriske tankemåten inviterte en til å bruke operasjoner som en lett kunne forestille seg geometrisk. Multiplikasjon og divisjon er verre geometrisk enn addisjon og subtraksjon.

I våre utdrag fra Euklids "Elementene" har vi sett at han brukte bokstaver som tegn for punkter. Aristoteles brukte bokstaver i sin logikk (ca -330) som tegn for utsagn. Dette ga likevel ikke opphav til å innføre variable som vi kjenner dem. Dette ble gjort av Francois Viete rundt 1590. Han innførte vokalene A, E, I, .... som tegn for ukjente størrelser og konsonantene B, C, D, .... som tegn for kjente størrelser. Ved å bruke dette og skrivemåten fra regnebøkene kunne han skrive likningen over som:

A-terning + 3 A-kvadrat - 2 A + 6 = 0

og den generelle trdjegradslikningen som:

B A-terning + C A-kvadrat + D A + F = 0

Viete hadde forstått skillet mellom kjente og ukjente størrelser - at en av og til regnet med størrelser som om de var kjent. Den geometriske tankemåten har han ikke frigjort seg fra.

Rene Descartes (ca 1630) innførte de første bokstavene i alfabetet , A B C ... , som tegn for de kjente størrelsene og de siste bokstavene, Z Y X ...., som tegn for de ukjente. Det er slik vi fortsatt gjør det.

Viktigere er at han frigjorde seg noe fra den geometriske tankemåten. For Descartes var de høyere potenser fortsatt linjestykker. Om en angir målestokken går det bra.

Grekerne brukte linjal og passer til sine konstruksjoner. Descartes innførte et nytt instrument som skulle beregne høyere potenser eller røtter:

Han innførte også den notasjonen for potenser vi bruker i dag:

X X² X³ X⁴ ........

Det blir mye bedre markert at det er samme X som forekommer og det er ikke noen grunn til å få problemer med høyere potenser.

Analyse

Descartes hadde med dette innført formler. Hans begrunnelse gikk langt utover det rent hensiktsmessige. Vi skal se nærmere på det i dette avsnittet. I lang tid hadde en undret seg over hvorfor var grekerne så flinke? I mange hundre år hadde den viktigste kilden til ny matematisk erkjennelse vært å finne nye greske tekster. En vanlig forklaring var at en bare hadde fått overlevert en del av grekernes metode. En kjente til Euklids "Elementer" og med det den deduktive metode. Den ble også kalt den syntetiske metode. Da tenkte en seg at aksiomene, postulatene og definisjonene var gitt. Ved å sette sammen disse fikk en vist fler og fler teoremer. Det som en tenkte seg manglet var metoden for å gå den andre veien - starte med et problem og så bryte det ned for så å finne ut om dette kunne vises å være et teorem. La oss her være konkret:

Vi tar for oss den pytagoreiske læresetning:

Vi skal altså se om kvadratet på AB er lik summen av kvadratene på AC og CB. Dette viser så Euklid ved å innføre en rekke hjelpestørrelser. Gå tilbake til Euklids bevis. Han har en rekke nye punkter, linjer og vinkler:

Uten dem klarer vi ikke å bygge opp til den pytagoreiske læresetning fra aksiomene, postulatene, definisjonene og tidligere viste teoremer. Problemet er så fra problemet finn hvilke hjelpestørrelser som skal innføres. På Descartes' tid trodde mange at det hadde grekerne en metode for - den analytiske metode. Descartes mente at han hadde funnet en metode for å vise setninger som var bedre enn grekernes. Dette var begynnelsen til det vi nå kaller matematisk analyse og formler spilte en sentral rolle.

Descartes var først og fremst interessert i geometri. Han viste hvordan en med den nye metoden kunne vise det som grekerne hadde vist og mer enn det. Descartes la først merke til at de vanlige algebraiske operasjonene, + - x : og rotuttrekking, kunne gis en geometrisk tolking. Det hele foregikk med linjestykker når det alt var angitt at et av linjestykkene skulle ha lengde 1. La oss følge Descartes "Discourse de la methode" (1637):

Men ofte trenger en ikke tegne av disse linjene på papir. En trenger bare betegne dem med bokstaver, en for hver linje. For å legge linja BD sammen med linja GH, kaller jeg den ene for a og den andre for b og skriver a+b . Jeg skriver a-b når jeg trekker den ene fra den andre, ab når jeg multipliserer og a/b når jeg dividerer. aa eller a² for å multiplisere a med seg selv. ........

Her skal en legge merke til at med a² eller b³ eller tilsvarende, mener jeg bare linjestykker selv om jeg kommer til å bruke ordene fra algebra kvadrat, terning etc.

Når enheten ikke er bestemt av problemet er det vesentlig at alle deler av en linje har samme dimensjon ( ab² og a³ har samme dimensjon.) ....... men når enheten er bestemt er dette helt annerledes........ .......

Til slutt for å ikke glemme navnene på disse linjene er det vesentlig at en lager en liste over dem og skriver for eksempel: AB = 1 , det vil si AB er lik 1 GH = a BD = b etc. Om vi nå ønsker å løse et problem, skal vi først anse det løst og gi navn til alle linjene, både de kjente og de ukjente, som synes nødvendig for å løse det. Så, uten å bry seg om forskjellen mellom kjente og ukjente linjer, går vi gjennom problemet på den mest naturlige måten for å se hvordan disse linjene er avhengige av hverandre inntil vi har funnet to måter å uttrykke samme størrelse. Dette kalles en likning, for termene fra den ene måten er lik de fra den andre måten. Vi må finne like mange likninger som det er ukjente linjer. Ellers vil det indikere at vårt problem ikke var fullt ut bestemt, og da kan vi bestemme på en vilkårlig måte lengden av de linjer som det ikke svarer noen likning til. ............ Og vi kan på denne måten alltid redusere antall ukjente til bare en, så lenge dette problemet er fra en konstruksjon med passer og linjal, med kjeglesnitt eller med andre kurver som er av en eller to grader høyere. Jeg kommer ikke til å forklare dette i mer detalj, for å ikke ødelegge for dere gleden ved å finne det ut selv, og fordelen ved å skjerpe hjernen ved å øve seg på dette. Dette er etter min mening den viktigste fordel vi kan få fra denne vitenskapen.

Dette er opphavet til analytisk geometri og matematisk analyse. Descartes viste med denne metoden alt som Euklid og de greske geometrerne hadde vist. Som eksempel på at hans metode var bedre enn grekernes tok han for seg et par problemer de ikke hadde løst.

Det er flere ting vi skal merke oss her:

Til formlene var det vesentlig å bruke notasjonene fra regnebøkene.

Vi regner med kjente og ukjente størrelser på samme måte. Formelt sett gjør vi her noe som svarer til det å tenke ut fra forutsetninger. Vi tenker oss de ukjente som kjente og regner med dem. Dette er et nytt skritt vekk fra det visuelle.

Formler er bygd opp fra formler på en enkel måte. Det er oppbyggingen av formler som skaffer oss de hjelpestørrelsene vi trenger i utledningene. Med sine likninger og formler hadde Descartes løst problemet med å finne hjelpestørrelser for en ny stor klasse av problemer.

For Descartes var ikke formlene hovedsaken. Han var fortsatt nært knyttet til de geometriske tolkningene. Et eksempel på dette er at han ikke godtok negative verdier på lengdene. Han så for seg at en først hadde en geometrisk kurve. Den kunne så beskrives med et likningsett. Likningene ga en oppbygging av kurven fra enklere kurver, og de aritmetiske operasjoner på likningene svarte til enkle geometriske operasjoner på kurvene. Likningene var en hjelp til å finne hvordan delene av en geometrisk situasjon var bygget opp fra smådeler. Det vil si finne de hjelpestørrelsene som den analytiske metode skulle gi.

LITTERATUR:

J.Hintikka,U.Remes: The method of analysis. Reidel.

T.Lenoir: Descartes and the Geometrization of Thought.

Historia Mathematica 1979.

A.G.Molland: Shifting the foundations - Descartes's

transformation of ancient geometry. Historia Mathematica

1976.

700000000000000009

. .

. STIKKORD .

. .

. Variable .

. .

. Formler .

. .

. Analyse .

. .

100000000000000003

^chpg,FUNKSJONER;

^sd,Funksjoner og kravet til stringens;

Det kan være vanskelig å forstå matematikernes krav til stringens i analyse. En skal for eksempel vise skjæringssetningen:

;

.

.

.

. .

. .

. .

. .

. .

0000000000005000000000000000000000020000000000000000>

. a 1

.

.

.

.

Anta at vi har en kontinuerlig funksjon f fra det lukkete intervallet mellom 0 og 1 til de reelle tall som er slik at f(0) < 0 < f(1) . Det vil da finnes et tall a med 0 < a < 1 slik at f(a) = 0 .

Med alle de tegninger vi kan lage av kontinuerlige funksjoner synes dette opplagt - det trenger ikke noe særskilt bevis. Vi skal se at det er en utvikling fra år 1630 til 1880. Rundt 1630 var skjæringssetningen opplagt for alle de funksjoner en brukte i analyse. Etterhvert som en innførte fler og fler typer funksjoner ble det viktigere å gå ut over figurbetraktninger for å vise egenskaper til funksjonene - og en fikk nye krav til hva som var en skikkelig matematisk argumentasjon.

Det er to forhold som en må ta hensyn til når en skal velge ut hvilke funksjoner som skal brukes i analyse:

Det skal være mange nok funksjoner til at en kan løse de viktigste problemene i analyse. De klassiske problemene fra geometri måtte kunne løses. I tillegg presset fysikk på med en rekke nye problemer.

En bør i størst mulig utstrekning unngå funksjoner med patologiske trekk. For eksempel synes det rimelig å ikke kalle den funksjonen f(x) ,som er 1 når x er et rasjonalt tall og 0 ellers, for en skikkelig funksjon. For pionerene i analyse var det urimelig å ta hensyn til slike funksjoner når teorien skulle utarbeides.

Vi vil kalle problemet med å velge ut en skikkelig klasse av funksjoner for demarkasjonsproblemet.

Descartes tok for seg problemer med passer og linjal, kjeglesnitt eller kurver av litt høyere grad. Han så at problemene kunne beskrives med likninger bygd opp fra kjente og ukjente størrelser ved addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og rotuttrekking. Dette ga de geometriske kurvene til Descartes. I moderne språkbruk vil det svare til funksjoner definert ved likninger y=f(x) der f(x) er et uttrykk bygd opp ved operasjonene over. Med disse funksjonene kunne Descartes løse alle problemer som Euklid og de greske geometrerne hadde løst. Descartes tok utgangspunkt i geometriske konstruksjoner.

I gresk geometri hadde en to konstruksjonsinstrumenter - passer og linjal. Det var ingen grunn til å nøye seg med disse to. Vi har i forrige kapitel sett instrumentet Descartes brukte for rotuttrekking:

En lang rekke kurver kunne beskrives ved instrumenter. Descartes tok for eksempel for seg følgende:

Linjalen svinger rundt punktet G. Den er koblet ved L til trekanten NKL. NKL beveger seg langs den vertikale aksen. Når linjalen beveger seg rundt G, beveger KN seg parallelt med seg selv. Skjæringspunktet C gir kurven GCE. Om vi setter:

GA = a

KL = b

NL = c

CB = y

AB = x

så får vi kurven:

y² = cy - (c/b)xy + ay - ac

For Descartes var dette en typisk geometrisk kurve.

I motsetning til disse står de mekaniske kurvene. Et eksempel er den arkimediske spiral:

Kurven er beskrevet ved to bevegelser:

Linja OR roterer uniformt rundt punktet O

Punktet B beveger seg uniformt langs linja OR mot punktet O.

Den vesentlige forskjellen mellom de geometriske og de mekaniske kurvene var at de geometriske kunne beskrives med en bevegelse, mens de mekaniske ikke kunne beskrives slik. Descartes godtok ikke de mekaniske kurvene som hørende med til geometri.

I noen av sine arbeider beskrev Arkimedes forholdet mellom geometriske progresjoner:

q q² q³ q⁴ q⁵ ........

og aritmetiske progresjoner som:

1 2 3 4 5 .........

På 1600-tallet begynte en å beskrive forholdet mellom disse tallene på en systematisk måte ved hjelp av logaritmetabeller. ("Logaritmer" kommer av ordene "logos"-forhold og "aritmos"-tall.) Med stor innsats ble de vesentlige egenskapene utviklet og store logaritmetabeller beregnet. Det ble naturlig å ta med kurver beskrevet med slike funksjoner på lik linje med Descartes' geometriske kurver. Med det var en kommet inn på mekaniske kurver som tillatte i analyse.

De trigonometriske funksjonene har en lengre historie. I Alexandria var det utviklet tabeller for noen trigonometriske funksjoner. En var spesielt interessert i korden og halvkorden til en vinkel i enhetssirkelen:

Araberne tok over dette og utviklet det videre. De kalte halvkorden for jiba eller skrevet uten vokaler for jb. Dette ble misforstått av oversetterne til latin. En trodde at en brukte ordet jaib som betyr utringning i klesplagg. Dette ble oversatt til latin som sinus som betyr bukt eller byste.

På 1600-tallet ble matematikk spesielt brukt til navigasjon og beregning av kulebaner. For begge beregningene var det viktig å ha gode trigonometriske og logaritmetabeller. Disse funksjonene trengte seg på som et viktig supplement til Descartes' funksjoner. Tar en også med de inverse funksjonene får en det vi nå kaller de elementære funksjoner.

I den praktiske beregningen av de nye funksjonene fant en ut ved midten av 1600-tallet at en kunne ha stor hjelp i uendelige rekker. Formler som:

sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - .......

e^x = 1 + x + x2/2! + x³/3! + ......

ble kjent. Det virket som en liten utvidelse av formelbegrepet å akseptere disse. Potensrekker kom inn og det åpnet for nye funksjoner. Fra mer avansert teori vet vi at slike funksjoner vil heller ikke skape alvorlige problemer.

Leibniz kom med en lang rekke språklige nyvinninger:

Han innførte prikken i som multiplikasjonstegn.

Våre tegn for derivasjon og integrasjon.

Navnet funksjon. Det kom av at ordinaten hadde en spesiell funksjon i å beskrive kurver:

Navnene konstant, variabel, koordinat, parameter og mye annet.

Med Leibniz skjedde det en dreining vekk fra det geometriske til å betrakte formlene som det primære. Han skilte mellom transcendentale og algebraiske funksjoner. De algebraiske ble beskrevet med endelige potensrekker, mens de transcendentale kunne ikke beskrives slik. Dette er et skillet ut fra hvordan funksjonene blir beskrevet, et språklig skille.

Leibniz var overbevist om at formelspråket kunne brukes til mye mer enn å beskrive matematikk. Han så for seg et universalspråk, lingua characterica. Det kunne en skrive opp all mulig kunnskap i. Om det var en konflikt, så Leibniz for seg hvordan en kunne skrive opp konflikten i universalspråket og så regne etter hvem som hadde rett.

Leonard Euler skrev omtrent 1/3 av den matematiske litteratur på 1700-tallet alene. Dette var rundt 1000 artikler, mange bøker og en stor korrespondanse. De siste 17 årene av sitt liv var han blind, men fortsatte arbeidet med samme kraft. Han dikterte da arbeidene til en tjener. Akkurat som de fleste litterære sitater er av Shakespeare, så er de fleste matematiske formler oppdaget av Euler.

Euler berørte demarkasjonsproblemet for funksjoner. Han var interessert i likningen for den svingende streng:

y; strengen ved ulike

. tidspunkt

.

.

000000500000000000000000000005000000000000000000>

. l x

.

. y(t,0) = 0

. y(t,l) = 0

y(t,x) - formen ved tid t

En løsning var funnet av franskmannen Jean de la Ronde d'Alembert (oppkalt etter kirken Jean de la Ronde der han ble funnet på trappen som hittebarn).

Anta y(0,x) = f(x) utgangsform

og y(t,0) = y(t,l) = 0 for alle t

og for t = 0

dy(t,x)/ dt = 0 utgangshastighet 0

Og følgende partiell differensiallikning

d2y(t,x)/dx2 = a2 d2y(t,x)/dt2

Vi får som løsning:

2 y(t,x) = f(at + x) - f(at - x)

Euler pekte på at d'Alemberts løsning kunne brukes til langt flere funksjoner en han hadde tenkt på. Løsningen er selvsagt avhengig av utgangsformen på strengen. Euler så at følgende form kunne være en rimelig utgangsform:

;

.

.

.

.

.

.

0000000050000000000000000000500000000000000000005000>

.

. 5 10

.

Den tilhørende funksjonen lar seg ikke beskrive med en formel. Nei vi trenger to:

7 10 - x for x med 5 < x < 10

f(x) = 6

1 x for x med 0 < x < 5

Euler innførte nå et skille mellom "kontinuerlige" og "diskontinuerlige" funksjoner. En "kontinuerlig" funksjon kunne defineres med en formel, mens en "diskontinuerlig" trengte flere. Med dette skillet begynner vi å bevege oss ut av formelspråket. Det var fortsatt ikke noe brudd, men regningene kunne bli svært omstendelige. I siste halvdel av 1700-tallet var det mange harde diskusjoner om en skulle tillate å bruke "diskontinuerlige" funksjoner.

Om vi har en plate med gitt randtemperatur og plata er i termodynamisk likevekt, hvordan vil da temperaturen i det indre av plata være:

y;

.

4000000000000000009

. .

. .

. .

. .

00000000500000000000000000200000000000000000000000000>

. x

.

.

Temperaturen måtte tilfredsstille følgende partielle differensiallikning:

du/dt = k ® d2u/dx2 + d2u/dy2 �

Franskmannen Joseph Fourier ga en løsning på problemet, men til løsningen brukte han en ny type funksjoner:

f(x) = S ( a_ncos nx + b_nsin nx )

Dette er de såkalte Fourier-rekkene. Disse har en mye mer problematisk oppførsel enn potensrekkene. Mye av grunnlagsarbeidet på 1800-tallet tok utgangspunkt i Fourier-rekker. Selv Cantors mengdelære fra 1870-80 startet med et problem om Fourier-rekker. For vår historie er det tilstrekkelig å se på disse funksjonene som både ønskelige og problematiske funksjoner. En kunne ikke lenger bruke formler til å skille ut de uproblematiske funksjonene. Fourier antydet at alle de vanlige eksemplene på "diskontinuerlige" funksjoner i Eulers forstand kunne skrives som en slik trigonometrisk rekke.

De vanlige regneregler for deriverte av summen av to funksjoner osv, var utledet ved å betrakte funksjonene som potensrekker:

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ........

og så regne på disse. Dette var ikke tilfredsstillende etter at Fourier-rekkene dukkket opp. Auguste Cauchy skrev nye lærebøker i analyse på 1820-tallet. Han gjorde ingen endringer med hensyn til hvilke funksjoner som han tok med, men han gjorde metodiske endringer. I stedet for å regne med koeffisientene i potensrekker, så beskrev han de egenskaper funksjonene skulle oppfylle. Med dette dukker våre vanlige - definisjoner av kontinuitet, deriverbarhet, ... opp. Cauchy tok dette som måter å beskrive egenskapene funksjonene hadde og ikke som definisjoner.

Cauchy tok for seg en del nye eksempler på funksjoner.

Funksjonen:

y = ^(x2)

er det uklart om er "diskontinuerlig" i Eulers forstand. Funksjonen:

7 e^hu,-1/x; om x er ikke 0

y = 6

1 0 om x = 0

oppfører seg pent men kan ikke skrives som en potensrekke. Slike eksempler gjorde det nødvendig for Cauchy å ikke bygge analysen på formelbegrepet. Fra Descartes har vi hatt en utvikling i tre etapper:

GEOMETRI --> FORMLER --> ANALYSE

Mens Karl Weierstrass var gymnaslærer i 1841 - 1856 utarbeidet han en ny måte å bygge opp analysen. Etter at han ble professor i Berlin i 1859 la han dette fram i forelesninger. For han kunne en funksjon være en hvilken som helst tilordning. Han godtok patologiske funksjoner som:

7 1 når x er rasjonal

f(x) = 6

1 0 når x er irrasjonal

Han viste at det var kontinuerlige funksjoner som ikke var deriverbar i noe punkt. I stedet for å bruke funksjonsbegrepet til å skille mellom hvilke funksjoner en godtok og hvilke en ikke godtok, så tillot han alle mulige funksjoner. Arbeidet ble så lagt i å få skikkelige definisjoner for kontinuitet, deriverbarhet, .....

LITTERATUR:

H.J.M.Bos: On the Representation of Curves in Descartes' Geometrie. Archive for History of the Exact Sciences.

J.Lützen: Funktionsbegrebets udvikling fra Euler til Dirichlet. Nordisk Matematisk Tidsskrift. 1979.

I.Grattan Guiness: Joseph Fourier. Cambridge. 1972.

A.P.Youschkevich: The concept of function up to the middle of the 19th century: Archive for History of the Exact Sciences. 1976. 

H.J.M.Bos: Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus. Archive for History of the Exact Sciences. 1974.

D.T.Whiteside: Patterns of mathematical thought in the later Seventeenth century. Archive for History of the Exact Sciences. 1960.

C.L.Boyer: The history of the calculus and its conceptual development. Dover.

70000000000000000000000000000009

. .

. STIKKORD: .

. .

. Funksjoner .

. .

. Demarkasjonsproblemet .

. .

. Kontinuitet .

. .

. e-d definisjoner .

. .

10000000000000000000000000000003

La oss gå tilbake til 1750-årene. En hadde drevet med formelregning i mer enn hundre år. Det var svært mange resultater. Leonhard Euler var den store formelmesteren. Fortsatt er det slik at en kan gå tilbake til hans formler og finne mye "nytt" stoff. Samtiden var svært imponert, men det var også en følelse av at en var i ferd med å uttømme de mulighetene som lå i matematikk. Den ekstra innsatsen som skulle til for å finne på noe nytt kostet stadig mer - mente mange. Typisk er følgende utsagn fra franskmannen Dennis Diderot, som var redaktør av den store franske Encyclopedie sammen med d'Alembert:

Det vil snart skje store endringer i vitenskapene. Når vi tar utgangspunkt i hva de store vitenskapsmenn nå prøver på, vil jeg påstå at om hundre år vil det ikke være mer enn tre store matematikere i Europa. Matematikk vil ikke utvikle seg utover der Bernoulli-brødrene, Euler, Maupertuis, Clairault, Fontaine, d'Alembert og Lagrange har etterlatt den. (Diderot 1754).

Matematikeren Lagrange sammenlikner matematikkens framtidsutsikter med de til arabisk filologi. Disse spådommene har ikke slått til. I dette kapitlet skal vi se nærmere på de endringene som kom i matematikk og som gjorde at utviklingen skjedde ganske annerledes. Et nøkkelord her er "strukturer". Selve navnet ble innført først i slutten av det forrige århundret - men mer om det senere.

Faget matematikk slik det ble definert ved de første universitetene tok bare for seg to strukturer:

DE NATURLIGE TALL

GEOMETRISKE STRUKTURER

Dette svarte til det klassiske skillet mellom punkter og utstrakte legemer. Som regel konsentrerte seg bare om tallinja (de reelle tall) og de naturlige tall. En kunne addere, subtrahere, multiplisere og dividere slike tall. På 1800-tallet oppdaget en at det var mye annet en også kunne utføre regneoperasjonene på.

Fra algebra og tallteori kom det flere nye måter å addere på:

Karl Friedrich Gauss viste ca 1800 hvordan en adderte modulo et annet tall. Her fikk en en ny form for addisjon, men det var ikke så stor forskjell fra tidligere måter å addere på. Vi skal ikke her fortelle hva kvadratisk resiprositet og elliptiske integral er. Det viktige er at det arbeidet som her ble gjort av Gauss, Abel og Jacobi ledet til helt nye måter å addere ting på. (1820-1830)

Det komplekse tallplan var beskrevet av Caspar Wessel. Han tok for seg problemet med hvordan en kunne addere og multiplisere retninger (vektorer) i planet. William Hamilton videreutviklet dette til en addisjon og multiplikasjon av vektorer i rommet med de såkalte kvaternioner ca 1840. Vi har spor av dette i vår vektoranalyse. Addisjon og multiplikasjon skjedde med noe annet enn tall.

George Boole viste ca 1850 hvordan logiske relasjoner mellom utsagn hadde nær sammenheng med vanlig addisjon og multiplikasjon. (Boolesk algebra).

Det ble bruk for langt flere strukturer enn de klassiske. Dette ledet til at en utviklet strukturbegrepet.

Det var nordmannen Sophus Lie som innførte begrepet struktur. Selve ordet struktur ble innført av noen av hans franske elever. Vi skal her se kort på bakgrunnen for dette.

Biologer brukte ordet struktur for å snakke om hvordan vev var bygget opp. Tilsvarende bruk var det av ordet blant geologer og blant arkitekter. Vi er da ennå langt fra den moderne bruken av ordet. Med struktur mener vi nå ikke bare oppbygging, men oppbygging beskrevet på en lukket (eller formell eller skjematisk) måte. En god analogi er forskjellen mellom den uformelle bruken av ordet funksjon - og matematikernes formelle bruk av ordet.

Sophus Lie var spesielt interessert i differensiallikninger. Teorien for likninger var godt utviklet av Abel og Galois. Galois hadde lagd en teori for hvilke likninger som var løsbare med rotuttrykk, hvilke som var løsbare med konstruksjoner med passer og linjal etc. Lies store prosjekt var å lage en Galois-teori for differensiallikninger.

Går vi litt nærmere inn på prosjektet så ser vi at vi er rett ved et av våre hovedtema. Lie ønsket å si noe om hvordan løsningene av en differensiallikning var - uten å måtte løse differensiallikningen. I mange tilfeller var det for vanskelig å løse likningene direkte - men likevel kunne en si noe om hvordan løsningene var bygd opp. Tenk på løsningene som et bilde. Vi skal si noe om hvordan dette bildet er - uten å kjenne detaljene. For å gjøre dette må en si noe om hvordan bildet er satt sammen.

Lie introduserte begrepet sammensetting av en gruppe. I fransk oversettelse ble det til "structure" - og derfra har det formelle strukturbegrepet kommet inn i matematikk og etterpå også i andre fag. ^se,Funksjon som tilordning;

Weierstrass brukte det allmenne funksjonsbegrepet. Dette føyde seg bra i utviklingen vi har skissert av de nye strukturene. For Weierstrass var analysen bygd opp ved:

RELLE TALL

FUNKSJONER

+

EGENSKAPER

Ved å skille de ønskelige egenskapene fra de allmenne begrepene tall og funksjoner åpnet en for at en kunne stå mye friere i valg av egenskaper. For Descartes hadde det å være en funksjon mange konsekvenser - den skulle være beskrevet med en geometrisk bevegelse og kunne dermed skrives ut ved polynomuttrykk. Weierstrass la alle slike egenskaper ned i den nedre del av analysen - under EGENSKAPER.

Giuseppe Peano ga i 1890 den moderne aksiomatisering av vektorrom. Vi ser at den er omtrent av samme form som den Weierstrass ga analysen:

Et vektorrom består av:

IKKE-TOM MENGDE V

DE RELLE TALL R

FUNKSJON +: VxV -> V

FUNKSJON i: RxV -> V

+

EGENSKAPER

Georg Cantor startet med et problem i Fourier-analyse. Gitt to Fourier-rekker som har samme verdi i en rekke punkter. Når er rekkene like ledd for ledd?

Gitt at rekkene

f(x) = S (a_ncos nx + b_nsin nx)

g(x) = S (c_ncos nx + d_nsin nx)

har samme verdi for alle x bortsett fra muligens når x er i S. For hvilke S kan en slutte at a'ene er like med c'ene og b'ene like med d'ene?

Cantor utviklet en stor teori for å klassifisere slike unntaksmengder. Dette er ikke så viktig her hvordan denne teorien var. Det viktige var at en kunne nå forenkle beskrivelsen av strukturer ytterligere. De reelle tallene for eksempel kunne beskrives ved:

NATURLIGE TALL N

FUNKSJONER N --> N

+

EGENSKAPER

En funksjon kunne kode et reelt tall ved å gi desimalutviklingen.

Richard Dedekind og Giuseppe Peano viste rundt 1890 at til og med de naturlige tall kunne defineres innenfor mengdelære. La oss se hvordan det kunne gjøres:

Aksiomatisk beskrivelse av de naturlige tall N og etterfølgerfunksjonen S som tar et tall n over i n+1 og tallet 0.

N er en ikke tom mengde

S er en funksjon N --> N

0 er et element av N

N, S, 0 tilfredsstiller følgende aksiomer:

1. Det fins ikke x slik at S(x) = 0

2. For alle x og y , om S(x) = S(y) så er x = y

3. For enhver x, enten er x=0 eller så fins y med x=S(y).

4. For enhver delmengde K av N , om 0 er med i K og for alle x (om x er med i K , så er S(x) med i K ), så må K = N .

Vi ser at vi har en voldsom reduksjon i hvilke matematiske objekter som trengs. I siste omgang dreier det hele seg om:

MENGDER, FUNKSJONER + EGENSKAPER som de oppfyller

Om en vil, kan en gå et skritt videre og eliminere funksjoner fra dette skjemaet. Vi er da nede på den mengdeteoretiske definisjonen av strukturer. For samtiden var det overraskende at en kunne foreta slike reduksjoner. Det kan synes som om vi nå er ved veis ende. I det neste kapitlet skal vi se at det er fortsatt mye uavklart med hva en krever av en matematisk argumentasjon.

LITTERATUR:

T.Hawkins: The Erlanger Programme of Felix Klein.

Historia Mathematica. 1984.

D.v.Dalen, A.F.Monna: Sets and integration. Wolters-Noordhoff.

. STIKKORD .

. .

. klassiske strukturer .

. .

. det formelle strukturbegrepet .

. .

. mengdespråket .

Hva er en mengde? I mange lærebøker i matematikk er paradoksene i mengdelæren nevnt. Det mest kjente er Russells paradoks fra 1902 :

La R være mengden av alle mengder som ikke er element av seg selv. Vi får da at R er med i R hvis og bare hvis R er ikke med i R. Motsigelse. I moderne symbolspråk ser argumentet slik ut:

. La R = æ x : ikke x e x å .

. .

. Da er for alle x : x e R <00> ikke x e x .

. .

. Spesielt for x=R : R e R <00> ikke R e R .

1000000000000000000000000000000000000000000000003

Ser en etter i den matematiske litteraturen fra århundreskiftet er det helt klart at dette argumentet gjorde lite inntrykk på samtiden. Det ble mer sett på som en intern vanskelighet i mengdelære. De mengdene som matematikerne trengte for å bygge opp sine strukturer var det ikke slike problemer med. Selve definisjonen av mengden R ble avvist. Dette var ikke en skikkelig definisjon.

Det var en stor grunnlagskrise ved århundreskiftet. I de fleste lærebøker er dette knyttet til Russells paradoks. Etter min mening er dette galt. Flere av hovedpersonene visste om paradokset før Russell men syntes det ikke var noe grunn til å si noe om det. Selve krisen startet i 1904 og holdt på i flere ti-år. Til grunn for krisen lå demarkasjonsproblemet. I løpet av 1800-tallet var det definert en rekke reelle funksjoner med merkelige egenskaper:

Funksjon f(x) som er null hvis og bare hvis x er et rasjonalt tall.

Funksjon g(x) som er kontinuerlig men ikke deriverbar i noe punkt.

Funksjon h(x) som har deriverte av alle ordener, men som ikke kan skrives som noen potensrekke.

.............

Mange var svært skeptiske overfor slike funksjoner. De mente at en måtte kunne bygge opp analysen uten at en trengte å bry seg om disse.

Det hele ble satt på spissen i 1904 etter at noen matematikere begynte å bruke det såkalte utvalgsaksiomet til å vise eksistens av funksjoner uten at det var angitt hvordan funksjonsverdiene skulle kunne regnes ut. Det vil føre for langt her å gå i detaljer. Det er nok for vår historie å se at det gamle demarkasjonsproblemet var fortsatt levende.

Hvilke krav skal vi sette til en reell funksjon? Vi har sett at det gamle kravet om at det skulle skrives som en formel ikke kunne opprettholdes. Formelspråket ledet fort til uendelige rekker, og en fikk funksjoner med rare egenskaper. På den annen side var det problemer fra fysikk: Eulers svingende streng og Fouriers varmelikning, som ikke kunne løses med elementære funksjoner. Kanskje det vesentlige med formler var at en da hadde en regneprosedyre. Vi burde kanskje kreve at funksjoner skulle være definert ved prosedyrer for å regne ut verdiene. Med et slikt krav må analysen bygges opp på nytt. Mange setninger fra analysen blir da gale. Skjæringssetningen er ikke gyldig i konstruktiv analyse.

Det er ikke bare med funksjoner en har problemer. La oss ta for oss følgende bevis:

Det fins irrasjonale tall a og b slik at a^b er rasjonal.

Vi ser på c = ^2^hu,^2;.Enten er c rasjonal eller så er c irrasjonal. Om c er rasjonal så kan vi la a = b = ^2 og teoremet er vist. Ellers er c irrasjonal og da kan vi la a = c og b = ^2 , og igjen er teoremet vist.

Hva har vi vist? Fra beviset er det umulig å si hvilke av de to mulighetene som inntreffer. Har vi da funnet to slike tall som vi skulle? Noen vil si ja, andre vil si nei. Det viser seg at c er rasjonal, men det følger først etter et mye vanskeligere bevis.

Eksempler som dette har ledet flere til et krav om at bevis skal være konstruktive. Når teoremet sier at noe finnes så må beviset gi et svar på hvordan det skal finnes. Flere av bevisene vi bruker i matematikk oppfyller ikke dette kravet. Kanskje burde vi skille mellom konstruktive bevis og bare bevis?

Det er et problem med strukturene slik vi har framstilt dem. Vi definerer strukturer ved å bruke mengder og funksjoner definert på dem. Se for eksempel på strukturen av de naturlige tall slik det er beskrevet sist i forrige kapittel. Hvordan skal det siste aksiomet der forstås? La oss først gjenta beskrivelsen:

Aksiomatisk beskrivelse av de naturlige tall N og etterfølgerfunksjonen S som tar et tall n over i n+1 og tallet 0. N er en ikke tom mengde S er en funksjon N --> N 0 er et element av N N, S, 0 tilfredsstiller følgende aksiomer: 1. Det fins ikke x slik at S(x) = 0 2. For alle x og y , om S(x) = S(y) så er x = y

3. For enhver x, enten er x=0 eller så fins y med x=S(y).

4. For enhver delmengde K av N , om 0 er med i K og for

alle x (om x er med i K , så er S(x) med i K ), så må

K = N . (Induksjonsaksiomet)

Hva mener vi med "for enhver delmengde"? Det kan virke som det er mye mer problematisk å gjøre det klart enn å gjøre klart hva de naturlige tall er. Det fins formuleringer av Peanos aksiomer der en i stedet bruker "for enhver funksjon f: N 00> N ". En får tilsvarende problem. Vi hadde store problemer med å beskrive hvilke funksjoner som fantes - og fikk med det demarkasjonsproblemet.

Nå kan mye matematikk gjøres selv om ikke slike problemer er avklart. Den vanlige løsningen på problemet med Peanos aksiomer er at en i det siste aksiomet bare tillater delmengder av N på formen:

æ n : P(n) er sann å

der predikatet P(n) er bygd opp på en enkel måte. Predikatet P(n) skal bare være bygd opp ved:

1. Elementære operasjoner som f.eks. addisjon

og multiplikasjon. Likhet.

2. Booleske operasjoner : OG ELLER IKKE

HVIS-S� HVIS-OG-BARE-HVIS

3. Kvantorer over individer:

"For alle individer n"

"Det fins individ n"

Slike predikat kalles første ordens predikat. Her har en holdt utenfor kvantorer over funksjoner og kvantorer over delmengder. Med slike kvantorer får en det som kalles andre ordens predikat.

Vi får med dette to versjoner av aksiomene for tallteori:

Z2 - aksiomene slik vi først beskrev dem med andre ordens predikat.

Z - første ordens versjonen av aksiomene med de opplagte ekstra aksiomer for addisjon og multiplikasjon:

a. n + 0 = n

b. n + S(m) = S(n + m)

c. n x 0 = 0

d. n x S(m) = (n x m) + n

Hvilke strukturer tilfredsstiller disse aksiomene? Det er rimelig opplagt at strukturen av de naturlige tall med etterfølger, addisjon og multiplikasjon tilfredstiller aksiomene i Z2 og i Z. Men fins det andre strukturer? La oss kort skissere beviset for at det ikke fins noen andre strukturer som tilfredsstiller aksiomene i Z2:

Anta at M er en struktur som tilfredsstiller Z2. I M fins det da et element som gir 0 og en operasjon S som gir etterfølger. Ved å bruke 0 og S, så får vi en kopi av de naturlige tall som en del av M. Vi kaller denne delen for N. Induksjonsaksiomet anvendt på delmengen N viser at M=N - og altså at enhver struktur som tilfredsstiller Z2 må være som de naturlige tall. Dette argumentet holder ikke for Z. Den delmengden N som vi brukte over kan ikke defineres på en elementær måte. Nordmannen Thoralf Skolem viste rundt 1930 at det fins strukturer som tilfredsstiller Z som er ganske forskjellig fra de naturlige tall. (Ikke-standard modeller av de naturlige tall).

La oss summere opp:

For de naturlige tall fins to ulike aksiomsystem

Z2 - andre ordens system

Z - første ordens system

Z2 beskriver de naturlige tall på en entydig måte, men er problematisk fra et grunnlagssynspunkt. Vi forutsetter at vi har klarhet over hva andre ordens kvantorer betyr. Vi ledes da opp i høyst uklare problemer.

Z beskriver ikke de naturlige tall på en entydig måte. Et uklart problem her er hvilke operasjoner som skal tillates i oppbyggingen av predikater. I Z brukes ikke bare etterfølger, men også addisjon og multiplikasjon. Hvorfor stoppe med dem? Hvis en først må ha med flere aksiomer, hvorfor bare de fire nye for addisjon og multiplikasjon? Det er stor grunn til å tvile på at Z er fullstendig beskrevet, men gitt et bevis i Z så er det ikke noe problem med å akseptere beviset. I Z2 kan det være mer problematisk.

Z2 gir en fullstendig beskrivelse av de naturlige tall, men det er beskrivelse som vi knapt kan bruke. I stedet må vi betrakte delsystem der vi har rimelig klarhet over hva vi gjør. Z er et godt forslag til delsystem. Det er vanskelig å finne på bevis i tallteori som ikke like godt kan gjennomføres i Z.

Kurt GEdel har gjennom sitt berømte ufullstendighetsteorem fra 1931 klargjort situasjonen. Han viste at det fantes vanlige første ordens utsagn i tallteori som var sanne men som ikke kunne vises i Z. Hva skjer om en tar et slikt utsagn F og legger det til Z som et nytt aksiom? Da får en bare et nytt utsagn G som var sant men kunne ikke vises i Z+F. Og så videre. GEdel viste at det ikke var noen måte å beskrive tallteori med et første ordens aksiomsystem på en fullstendig måte. Det ville alltid finnes sanne setninger som ikke kunne bevises.

GEdels og Skolems argumenter er litt usammenlignbare. Skolem snakker om modeller, mens GEdel snakker om første ordens utsagn. Skolems argumenter er svært generelle. De går for ethvert første ordens aksiomsystem som har minst en uendelig modell. GEdels argumenter har med aksiomsystem for tallteori å gjøre.

Vi kan stort sett skille mellom tre ulike holdninger:

• Konstruktivisme. Bare konstruktive (beregnbare, elementære, enkle, ..... ) funksjoner kan godtas. Andre funksjoner hører ikke med til matematikk. Det blir da et stort prosjekt å forklare hva som godtas og hva som ikke godtas.
• Formalisme. For de formål som matematikerne bruker funksjonene til spiller det ingen rolle om en er svært liberal når det gjelder hvilke funksjoner som godtas. De ikke-konstruktive funksjonene spiller bare en teoretisk rolle. Det matematikken i virkeligheten arbeider med er symboler på papir.
• Platonisme. Alle funksjoner må godtas. Det er likegyldig om de er konstruktive eller ikke.

Disse holdningene er nært knyttet til henholdsvis Brouwers intuisjonisme, Hilberts metamatematikk og matematisk platonisme.

Vi ser også at en får ulike problemer med disse tre holdningene:

• Det er uklart hvilket system matematikken skal utvikles innenfor. Hvor går skillet mellom det som skal godtas og det som ikke godtas.
• Hvordan vet vi at symbolmanipulasjonene gir riktig resultat? Hva er det som gjør at vi kan anvende de matematiske utregningene?
• Platonismen inviterer til å bygge store luftslott. Gir det overhode noen mening å snakke om funksjoner som ikke kan beregnes?

Gjennom hele matematikkens historie har en hatt varianter av disse tre holdningene. Av og til kan holdningene minne om forskjell i temperament til ulike matematikere. Det er likevel mye som er oppnådd ved å klargjøre matematikernes tenkemåte.

Vi startet vår ferd med å snakke om matematiske tekster.

Matematiske tekster er lukkete. De beskriver noe. Men det de beskriver er ikke et bilde i vanlig forstand. De gir en skjematisk beskrivelse. Så lenge en er bare interessert i regneoppskrifter spiller det ikke så stor rolle om de tekstene en har regnes som lukkete eller ikke. Problemene starter når vi kommer til bevis. Dette kommer spesielt klart fram i motsigelsesbevis.

Det er nødvendig å bruke slike skjematiske beskrivelser for å gi motsigelsesbevis. Tenker en gjennom situasjonen ser en at en får tilsvarende problemer andre steder:

Formler som gir en situasjon som ikke kan oppnås. Dette kommer en for eksempel ut for når en prøver å løse en likning som viser seg ikke å ha en løsning.

Aksiomatisk beskrivelse av en struktur som ikke lar seg realisere.

Løsningen på disse problemene går gjennom å bygge opp et apparat for å beskrive lukkete situasjoner. Det er her de matematiske grunnbegrepene kommer inn:

VITENSKAP BEVIS FORMEL FUNKSJON STRUKTUR

FORMELT SPRÅK MODELL

Vi har her gitt en idehistorisk skisse av disse grunnbegrepene. Dette er en måte å gå inn i matematikkens historie på. Vi vil understreke til slutt at det finss mange andre måter. Den vanligste er å gi den interne historien om utviklingen av de matematiske teoremer og teorier. Det er også skrevet om den mer eksterne historien - om forholdet mellom matematikk og samfunnet omkring gjennom tidene. Vår beskrivelse her ligger på et litt annet plan. Vi har lagt vekt på de mer logiske delene i dette å utføre matematikk og hvordan disse har utviklet seg gjennom tidene.

Ferden er avsluttet i denne teksten - men fortsetter i det virkelige liv utenfor.

LITTERATUR:

G.Moore: Zermelos axiom of choice. Springer.

D.Hofstadter: GEdel, Escher, Bach. Pelican.

S.KErner: The philosophy of mathematics. Harper.

7000000000000000000000000000009

. STIKKORD .

. .

. paradokser .

. .

. demarkasjonsproblemet .

. .

. beregnbarhet .

. .

. første ordens språk .

. .

. ufullstendighet .

. .

. grunnlagsholdninger .

1000000000000000000000000000003